先上具體的公式。
並查集由一個整數型的數組和兩個函數構成。數組pre[]記錄了每個點的前導點是什麼，函數find是查找，join是合併。
int pre[1000];
int find(int x) //查找根結點
{
int r = x;
while(pre[r] != r) //返回根節點r
r = pre[r];
int i = x, j;
while(i != r) //路徑壓縮
{
j = pre[i]; // 在改變上級之前用臨時變量j記錄下他的值
pre[i] = r; //把上級改爲根節點
i = j;
}
return r;
}
void join(int x, int y) //判斷x和y是否連通，如果已經連通，就不用管了
{ //如果不連通，就把它們所在的連通分支合併
int fx = find(x), fy = find(y);
if(fx != fy)
pre[fx] = fy;
}
爲了解釋並查集的原理，我將舉一個更有愛的例子。 話說江湖上散落着各式各樣的大俠，有上千個之多。他們沒有什麼正當職業，整天揹着劍在外面走來走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大俠們有一個優點就是講義氣，絕對不打自己的朋友。而且他們信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通過朋友關係串聯起來的，不管拐了多少個彎，都認爲是自己人。這樣一來，江湖上就形成了一個一個的羣落，通過兩兩之間的朋友關係串聯起來。而不在同一個羣落的人，無論如何都無法通過朋友關係連起來，於是就可以放心往死了打。但是兩個原本互不相識的人，如何判斷是否屬於一個朋友圈呢？
我們可以在每個朋友圈內推舉出一個比較有名望的人，作爲該圈子的代表人物，這樣，每個圈子就可以這樣命名“齊達內朋友之隊”“羅納爾多朋友之隊”……兩人只要互相對一下自己的隊長是不是同一個人，就可以確定敵友關係了。
但是還有問題啊，大俠們只知道自己直接的朋友是誰，很多人壓根就不認識隊長，要判斷自己的隊長是誰，只能漫無目的的通過朋友的朋友關係問下去：“你是不是隊長？你是不是隊長？”這樣一來，隊長面子上掛不住了，而且效率太低，還有可能陷入無限循環中。於是隊長下令，重新組隊。隊內所有人實行分等級制度，形成樹狀結構，我隊長就是根節點，下面分別是二級隊員、三級隊員。每個人只要記住自己的上級是誰就行了。遇到判斷敵友的時候，只要一層層向上問，直到最高層，就可以在短時間內確定隊長是誰了。由於我們關心的只是兩個人之間是否連通，至於他們是如何連通的，以及每個圈子內部的結構是怎樣的，甚至隊長是誰，並不重要。所以我們可以放任隊長隨意重新組隊，只要不搞錯敵友關係就好了。於是，門派產生了。
下面我們來看並查集的實現。 int pre[1000]; 這個數組，記錄了每個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編號（依據題意而定），pre[15]=3就表示15號大俠的上級是3號大俠。如果一個人的上級就是他自己，那說明他就是掌門人了，查找到此爲止。也有孤家寡人自成一派的，比如歐陽鋒，那麼他的上級就是他自己。每個人都只認自己的上級。比如胡青牛同學只知道自己的上級是楊左使。張無忌是誰？不認識！要想知道自己的掌門是誰，只能一級級查上去。 find這個函數就是找掌門用的，意義再清楚不過了（路徑壓縮算法先不論，後面再說）。
int find(int x) //查找我（x）的掌門
{
int r = x; //委託r去找掌門
while(pre[r] != r) //如果r的上級不是r自己（也就是說找到的大俠他不是掌門 = =）
r = pre[r]; //r 就接着找他的上級，直到找到掌門爲止。
return r; //掌門駕到~~~
}
再來看看join函數，就是在兩個點之間連一條線，這樣一來，原先它們所在的兩個板塊的所有點就都可以互通了。這在圖上很好辦，畫條線就行了。但我們現在是用並查集來描述武林中的狀況的，一共只有一個pre[]數組，該如何實現呢？ 還是舉江湖的例子，假設現在武林中的形勢如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我非常喜歡的兩個人物，他們的終極boss分別是玄慈方丈和滅絕師太，那明顯就是兩個陣營了。我不希望他們互相打架，就對他倆說：“你們兩位拉拉勾，做好朋友吧。”他們看在我的面子上，同意了。這一同意可非同小可，整個少林和峨眉派的人就不能打架了。這麼重大的變化，可如何實現呀，要改動多少地方？其實非常簡單，我對玄慈方丈說：“大師，麻煩你把你的上級改爲滅絕師太吧。這樣一來，兩派原先的所有人員的終極boss都是師太，那還打個球啊！反正我們關心的只是連通性，門派內部的結構不要緊的。”玄慈一聽肯定火大了：“我靠，憑什麼是我變成她手下呀，怎麼不反過來？我抗議！”抗議無效，上天安排的，最大。反正誰加入誰效果是一樣的，我就隨手指定了一個。這段函數的意思很明白了吧？
void join(int x, int y) //我想讓虛竹和周芷若做朋友
{
int fx = find(x), fy = find(y); //虛竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是滅絕
if(fx != fy) //玄慈和滅絕顯然不是同一個人
pre[fx] = fy; //方丈只好委委屈屈地當了師太的手下啦
}
再來看看路徑壓縮算法。建立門派的過程是用join函數兩個人兩個人地連接起來的，誰當誰的手下完全隨機。最後的樹狀結構會變成什麼樣，我也完全無法預計，一字長蛇陣也有可能。這樣查找的效率就會比較低下。最理想的情況就是所有人的直接上級都是掌門，一共就兩級結構，只要找一次就找到掌門了。哪怕不能完全做到，也最好儘量接近。這樣就產生了路徑壓縮算法。 設想這樣一個場景：兩個互不相識的大俠碰面了，想知道能不能揍。 於是趕緊打電話問自己的上級：“你是不是掌門？” 上級說：“我不是呀，我的上級是誰誰誰，你問問他看看。” 一路問下去，原來兩人的最終boss都是東廠曹公公。 “哎呀呀，原來是記己人，西禮西禮，在下三營六組白麪葫蘆娃!” “幸會幸會，在下九營十八組仙子狗尾巴花！” 兩人高高興興地手拉手喝酒去了。 “等等等等，兩位同學請留步，還有事情沒完成呢！”我叫住他倆。 “哦，對了，還要做路徑壓縮。”兩人醒悟。 白麪葫蘆娃打電話給他的上級六組長：“組長啊，我查過了，其習偶們的掌門是曹公公。不如偶們一起及接拜在曹公公手下吧，省得級別太低，以後查找掌門麻環。” “唔，有道理。” 白麪葫蘆娃接着打電話給剛纔拜訪過的三營長……仙子狗尾巴花也做了同樣的事情。 這樣，查詢中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接領導下。每次查詢都做了優化處理，所以整個門派樹的層數都會維持在比較低的水平上。路徑壓縮的代碼，看得懂很好，看不懂也沒關係，直接抄上用就行了。總之它所實現的功能就是這麼個意思。
