时间复杂度与空间复杂度，递归算法

算法的基础知识

作者：Lina_ACM

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。下面摘录其含义：

时间复杂度：

时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

重点在其计算方法：

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））。 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。

在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O（n）,二重则为O（n^2），依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。归并排序就是这样一种情况。

空间复杂度：

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了,因为每次递归都要存储返回信息。

一个算法的空间复杂度只考虑在运行过程中为局部变量分配的存储空间的大小，它包括为参数表中形参变量分配的存储空间和为在函数体中定义的局部变量分配的存储空间两个部分。

Ex： 递归算法，其空间复杂度为递归所使用的堆栈空间的大小，它等于一次调用所分配的临时存储空间的大小乘以被调用的次数(即为递归调用的次数加1，这个1表示开始进行的一次非递归调用)。算法的空间复杂度一般也以数量级的形式给出。

大O符号： 

        在算法中代表了无限大趋近。例子如下： from wiki

                  解决一个规模为  的问题所花费的时间（或者所需步骤的数目）可以表示为：。当 增大时， 项将开始占主导地位，而其他各项可以被 忽略。 举例说明：当， 项是 项的1000倍大，因此在大多数场合下，省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。

进一步看，如果我们与任一其他级的表达式比较，  项的系数也是无关紧要的。例如：一个包含 或 项的表达式，即使，假定，一旦 增长到大于 1,000,000，后者就会一直超越前者（ ）。

这样，大O符号就记下剩余的部分，写作：

或

并且我们就说该算法具有 阶（平方阶）的时间复杂度。

递归算法：

递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

判断：

递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：

一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

 为了理解， 最好参考网上代码，进一步认证了解。