Armstrong基礎拓撲學讀書筆記——第二章：連續性

2.1 開集和閉集

拓撲空間

（定義2.1） $X$是一個拓撲空間，如果它存在一組非空子集（稱爲開集）族，滿足

• 無限個開集的並是開集
• 有限個開集的交是開集
• 全集和空集是開集

無限開集是不是開集的例子。
設$X$是定義在$R^2$上的歐式拓撲，開集取常規定義下的開圓，取其中無數個開集
${(x,y)|x^2+y^2<\frac{1}{n}}, n=1,2,\cdots$。
顯然這無限個開集的交是原點，而原點不是開集。

鄰域

對拓撲空間$X$中的一個點（元素）$p$，任何一個包含$p$的開集都是$p$的一個鄰域。

子空間誘導的拓撲

$X$是一個拓撲空間（背景集合和開集族），$Y$是$X$上（背景集合）的一個子集，若定義$Y$中的開集爲$X$中開集和$Y$的交，則$Y$爲$X$在子空間上誘導（induce）的拓撲。

離散拓撲

$X$中所有的子集均爲開集構成的拓撲空集。

閉集

$X$是一個拓撲空間，$X$的一個子集稱爲一個閉集，如果這個子集的補爲開集。

一個子集可以同時爲開集和閉集。比如在$X=\{0,1\}$上賦予離散拓撲，則由定義，$\{0\}$和$\{1\}$顯然同時爲開集和閉集。

極限點

$A$是拓撲空間$X$的一個子集。一個點（元素）$p \in X$被稱爲$A$的極限點，當且僅當對於任意$p$的鄰域，均包含至少一個點，它屬於$A-\{p\}$。

例1：$X$是定義在$R^1$上的歐式拓撲，$A$取所有$1/n, n=1,2,\cdots$點組成的點集，則$A$中唯一的極限點是原點。

例2：$X$是定義在$R^1$上的歐式拓撲，$A$取$[0,1)$，則$A$中任一點均爲極限點，且1也是一個$A$的極限點。

例3：$X$是定義在$R^3$上的歐式拓撲，$A$取$R^3$中所有的有理點，則$X$全體都是極限點。

例4：$X$是定義在$R^3$上的歐式拓撲，$A$取$R^3$中所有的整數點，則$A$沒有極限點。

閉集和極限點的定理

（定理2.2） 一個集合是閉集，當且僅當它包含了它自身所有的極限點。

閉集和閉包的關係

（定理2.3） 子集$A$的閉包爲包含$A$的最小閉集，或者說，子集$A$的閉包爲所有包含$A$的閉集的交。

（推論2.4） 一個子集爲閉集，當且僅當它的閉包爲自身。

集合$A$的閉包寫作$\bar{A}$。

稠密

如果一個子集的閉包爲整個拓撲空間，則稱這個子集是稠密的。

如上述例3中$R^3$上所有的有理點的集合是稠密的。

稠密集和空間中任意一個開集相交。

內部點（集）

子集$A$的內部點（interior），通常寫作$\mathring{A}$，指所有包含$A$的集合的交。

一個點$x$屬於集合$A$的內部點，當且僅當集合$A$是點$x$的鄰域。

開集的內部點集就是開集本身。

邊界點（集）

拓撲空間$X$中的子集$A$的邊界點（frontier）定義爲$A$的閉包和$X-A$的閉包的交。

一個等價的定義爲$X$減去$A$的內部點，再減去$X-A$的內部點。

拓撲基

如果有一個拓撲空間$X$，以及一組$X$中的開集$\beta$，如果$X$中任何一個開集都可以表示成若干個$\beta$中開集的並，則$\beta$構成$X$中的一個拓撲基。

一個等價的定義是，對於任何一個點$x$，取它的鄰域$N$，$N$中總有一個點，這個點屬於$\beta$中某一個開集。

例：對於$R^2$上的歐式拓撲，開圓盤是其中一個拓撲基，開矩形也是其中的一個拓撲基。

（定理2.5） 設$\beta$是集合$X$中的一個子集族，若有限個$\beta$中的集合相交仍在$\beta$中，且$\bigcup \beta = X$，則$\beta$爲$X$的一個拓撲基，形成$X$的拓撲空間。

證明：取開集族爲所有$\beta$中集合併成的集合，驗證這樣的開集族滿足拓撲空間的三個條件即可。按開集族的取法，無限並在開集族中；按定理的條件，有限交在開集族中；按定理的條件，全集在開集族中；人工添加空集到開集族中。顯然賦予這樣開集族的$X$是拓撲空間。得證。

2.2 連續函數

連續函數

（定理2.6） 拓撲空間$X$到拓撲空間$Y$的函數是連續的（continuous），當且僅當$Y$中開集的原像（inverse image）在$X$中是開集。

映射

連續函數通常被稱爲映射（map）。

（定理2.7） 映射的複合還是映射。即$f: X \rightarrow Y$是連續函數，$g: Y \rightarrow Z$是連續函數，則$f \circ g: X \rightarrow Z$也是連續函數。

子空間誘導拓撲下的連續函數

（定理2.8） 設$f: X \rightarrow Y$是連續函數，$A$是$X$的子集，且賦予子空間誘導的拓撲，則$f|A: A \rightarrow Y$也是連續函數。

連續函數的性質

（定理2.9） 以下5個命題等價：

(a). $f: X \rightarrow Y$連續

(b). $\beta$是$Y$的一個拓撲基，任何一個$\beta$中的集合的原像是$X$中的開集

©. $\forall A \subseteq X, f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$

(d). $\forall B \subseteq Y, \overline{f^{-1}(B)} \subseteq f^{-1}(\bar{B})$

(e). $Y$中閉集的原像都是$X$中的閉集。

證明：證明命題等價的方法爲$(a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (d) \Rightarrow (e) \Rightarrow (a)$。

$(a) \Rightarrow (b)$，由定義顯然。

$(b) \Rightarrow (c)$，在$\bar{A}$中任取一點$x$，若$x \in A$，則顯然$f(x) \in f(A) \subseteq \overline{f(A)}$；若$x \notin A$，則$x$是$A$的一個極限點。因此，我們只需要證明$x$是$A$的一個極限點時，$f(x)$是$f(A)$的極限點的情況。任取$f(x)$的一個鄰域$N$，由(b)，可取$Y$中一個拓撲基$B \in \beta$，使得$f(x) \in B \subseteq N$。要證$f(x)$是$f(A)$的極限點，即證存在一點$f(x')$，$f(x') \in N$且$f(x') \in f(A)$。由(b)，$f^{-1}(B)$是$X$中的開集，因爲$x \in f^{-1}(B)$且$x$爲極限點，故存在一點$x' \in A$且$x' \in f^{-1}(B)$。因此顯然，$f(x') \in f(A)$且$f(x') \in B \subseteq N$。命題得證。

$(c) \Rightarrow (d)$，$\forall B \subseteq Y$，$\exist A \subseteq X$，使得$A = f^{-1}(B)$。代入©，得到$f(\overline{f^{-1}(B)}) \subseteq \overline{f(f^{-1}(B))} = \bar{B}$，兩側同時取$f^{-1}$，則(d)得證。

$(d) \Rightarrow (e)$，如果$B$是$Y$中的閉集，則$B=\bar{B}$。由(d)，$\overline{f^{-1}(B)} \subseteq f^{-1}(\bar{B}) = f^{-1}(B)$，因此(e)得證。

$(e) \Rightarrow (a)$，設$U$是$Y$中的開集，則$f^{-1}(U) \amalg f^{-1}(Y-U) = X$，其中$\amalg$表示無交併。（這裏等號成立，是因爲函數的性質決定了$f$和$f^{-1}$爲一一映射且爲滿射。）因爲閉集的原像是閉集，且因爲$Y-U$是閉集，因此$f^{-1}(Y-U)$是閉集。因此$f^{-1}(U) = X - f^{-1}(Y-U)$，因此開集的原像是開集。(a)得證。

連續函數的逆不一定爲連續函數。

例：$X$爲$[0,1)$賦予$R^1$歐式拓撲的子空間拓撲，$Y$爲單位圓賦予$R^2$歐式拓撲的子空間拓撲。$f:X \rightarrow Y = e^{2\pi ix}$爲連續函數，因爲任取$X$上的開區間，都是$Y$上的開曲線區間。但$f^{-1}$不是連續函數，因爲$Y$中取跨越$(1,0)$點的一段開曲線區間，對應於$X$左右兩側一段開區間和一段閉區間。見圖2.1。

同胚

如果存在$X$到$Y$上一一對應、滿射且連續的函數，且其逆函數也連續，則$X$和$Y$同胚。

例：球極投影。去掉北極點的球和平面同胚。可構造從北極點向球面各點發射的射線，總是能和赤道平面相交在一點，它們顯然一一對應、滿射、連續、逆函數連續，因此同胚。

2.3 充滿面的曲線

皮亞諾曲線

構造方法如圖2.3所示。

可證明皮亞諾曲線充滿了整個三角形。另外由於皮亞諾曲線是$[0,1]$到整個面的連續映射，因此，單方向的連續映射不能推出同胚。

2.4 Tietze擴張定理

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參考

• Basic Topology, M. A. Armstrong
• Bilibili基礎拓撲學公開課