文章目錄

1.概念

$\qquad$ 一維搜索是最優化方法最簡單的一種，即求一個在(a,b)內，連續下單峯函數 $f(x)$ 的極小值。所謂下單峯函數就是隻有一個極小值的函數。

2.遍歷搜索

$\qquad$ 這個問題看似簡單，我們只需要指定步長，從區間左端點搜索到右端點，每次根據步長新產生一個值，比對它和前兩個值的大小。記錄三個值從左到由依次爲 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ ，若出現 $x_1>x_2<x_3$ 的情況，則說明極小值點必定落在 $（x_1,x_3）$ 之間。因此如果指定了最終區間不得超過eps的話，那麼搜索步長不得大於0.5eps。
我們很快就會發現，這種遍歷法雖然算法簡單，但是迭代次數多，浪費資源嚴重，因此我們需要更快地得到最終區間的方法。在最優化方法這個數學分支中，可以證明斐波拉契法是壓縮比（在同樣迭代次數下開始區間和最終區間的比值）最高的方法，黃金分割比相比它壓縮比小一些，但是算法會比較簡單，佔用計算資源也會略少。

3.優化算法

3.1.一維搜索原則

$\qquad$ 首先在初始區間[a,b]中取兩個點 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ ，計算 $f(a),f(x_1),f(x_2),f(b)$ 的值。由於 $f(x)$ 在(a,b)爲下單峯函數，即有唯一的極小值，因此a或b必定不是極小值點。

1.若 $f(x_1)<f(x_2)$ 則說明 $(x_1,x_2)$ 我下降段，極小值 $x^*$ 點應該在 $x_1$ 的右側，因此修改查找區間爲 $(x_1,b)$
2.若 $f(x_1)>f(x_2)$ 則說明 $(x_1,x_2)$ 我上升段，極小值 $x^*$ 點應該在 $x_2$ 的左側，因此修改查找區間爲 $(a,x_2)$
一維搜索算法的核心就是解決取 $x_1和x_2$ 的問題

3.2.黃金分割法

$\qquad$ 設黃金分割比爲k，取 $x_1=b-(b-a)*k,x_2=a+(b-a)*k$ 。
在一維搜索中，如果滿足條件1，那麼需要在 $(x_1,b)$ 取值。設 $\rho=1-k$ 則
$\overline{CD}=1-\rho,\overline{DE}=\rho,\overline{EF}=1-\rho$ 由於在黃金分割比的作用下， $\frac{1-\rho}{1}=\frac{1-2\rho}{1-\rho}$ ，因此 $\frac{DE}{GH}=\frac{DE}{DF}=\frac{DF}{CF}=k≈0.618$
因此若將E點平移至GH線段，將G的橫座標當做a，H的橫座標當做b，它就相當於是 $x_1$ 的位置，因此只需要計算 $x_2=a+(b-a)*k=b-(b-a)*\rho$ 即可
同理，如果滿足條件2， $\frac{DE}{IJ}=\frac{DE}{CE}=\frac{CE}{CF}=k≈0.618$ D點相當於IJ線段的 $x_2$ 的位置，因此只需要計算 $x_1=b-(b-a)*k=a+(b-a)*\rho$

Code Block

編寫用戶自定義函數的代碼講解參見以下鏈接：

[動態創建數學函數(CSDN])
以下爲黃金分割法進行一維搜索的代碼：

from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import *
# 通用函數f(x)靠用戶錄入
def function(x):
    fx = str_fx.replace("x", "%(x)f")  # 所有的"x"換爲"%(x)function"
    return eval(fx % {"x": x})  # 字典類型的格式化字符串，將所有的"x"替換爲變量x


# 繪圖函數：給定閉區間（繪圖間隔），繪圖間隔默認爲0.05，若區間較小，請自行修改
def drawf(a,b,interp=0.05):
    x = [a+ele*interp for ele in range(0, int((b-a)/interp))]
    y = [function(ele) for ele in x]
    plt.figure(1)
    plt.plot(x, y)
    xlim(a, b)
    title(init_str, color="b")
    plt.show()

# 黃金分割法進行一維搜索的函數
def gold_div_search(a,b,esp):
    data=list()
    x1=a+rou*(b-a)
    x2=b-rou*(b-a)
    data.append([a,x1,x2,b])
    while(b-a>esp):
        if function(x1)>function(x2):  #如果f(x1)>function(x2)，則在區間(x1,b)內搜索
            a=x1
            x1=x2
            x2=b-rou*(b-a)
            plt.plot(x2,function(x2),'r*')
        elif function(x1)<function(x2):  #如果f(x1)<function(x2),則在區間(a,x2)內搜索
            b=x2
            x2=x1
            x1=a+rou*(b-a)
            plt.plot(x1,function(x1),'r*')
        else:  #如果f(x1)=function(x2)，則在區間(x1,x2)內搜索
            a=x1
            b=x2
            x1=a+rou*(b-a)
            x2=b-rou*(b-a)
            plt.plot(x1,function(x1),'r*',x2,function(x2),'r*')
        data.append([a,x1,x2,b])
    with open("一維搜索（黃金分割法）.txt",mode="w",encoding="utf-8")as a_file: 
    # 保存的txt文件在程序的同目錄下
        for i in range(0,len(data)):
            a_file.write("%d：\t"%(i+1))
            for j in range(0,4):
                a_file.write("function(%.3f)=%.3f\t"%(data[i][j],function(data[i][j])))
            a_file.write("\n")
    print("寫入文件成功！")
    return [a,b]

rou = 1-(sqrt(5)-1)/2  # 1-rou爲黃金分割比
init_str = input("請輸入一個函數，默認變量爲x：\n")  # 輸入的最初字符串
para=input("請依次輸入一維搜索的區間a,b和最終區間的精確值（用空格分隔）").split() # 導入區間
para=[float(ele) for ele in para]
a,b,esp=para
str_fx = init_str.replace("^", "**")  # 將所有的“^"替換爲python的冪形式"**"
gold_div_search(a,b,esp)  # 調用黃金分割法並保存文件
drawf(a,b,(b-a)/2000)  # 繪製函數圖形

以下爲交互式界面的效果：（請在Shell或Pycharm中的Python Console裏面運行）

    請輸入一個函數，默認變量爲x：
    atan(x)-log(2*x+1)+4*x**2-3*x
    請依次輸入一維搜索的區間a,b和最終區間的精確值（用空格分隔）0 1 0.001
    寫入文件成功！

文本文檔數據：（如用此程序運行，保存的文本文檔與程序同目錄）

1： f(0.000)=0.0000000 f(0.382)=-0.7649875 f(0.618)=-0.5773825 f(1.000)=0.6867859
2： f(0.000)=0.0000000 f(0.236)=-0.6401822 f(0.382)=-0.7649875 f(0.618)=-0.5773825
3： f(0.236)=-0.6401822 f(0.382)=-0.7649875 f(0.472)=-0.7485370 f(0.618)=-0.5773825
4： f(0.236)=-0.6401822 f(0.326)=-0.7399126 f(0.382)=-0.7649875 f(0.472)=-0.7485370
5： f(0.326)=-0.7399126 f(0.382)=-0.7649875 f(0.416)=-0.7669244 f(0.472)=-0.7485370
6： f(0.382)=-0.7649875 f(0.416)=-0.7669244 f(0.438)=-0.7630202 f(0.472)=-0.7485370
7： f(0.382)=-0.7649875 f(0.403)=-0.7673941 f(0.416)=-0.7669244 f(0.438)=-0.7630202
8： f(0.382)=-0.7649875 f(0.395)=-0.7669382 f(0.403)=-0.7673941 f(0.416)=-0.7669244
9： f(0.395)=-0.7669382 f(0.403)=-0.7673941 f(0.408)=-0.7673906 f(0.416)=-0.7669244
10： f(0.395)=-0.7669382 f(0.400)=-0.7672874 f(0.403)=-0.7673941 f(0.408)=-0.7673906
11： f(0.400)=-0.7672874 f(0.403)=-0.7673941 f(0.405)=-0.7674185 f(0.408)=-0.7673906
12： f(0.403)=-0.7673941 f(0.405)=-0.7674185 f(0.406)=-0.7674176 f(0.408)=-0.7673906
13： f(0.403)=-0.7673941 f(0.404)=-0.7674129 f(0.405)=-0.7674185 f(0.406)=-0.7674176
14： f(0.404)=-0.7674129 f(0.405)=-0.7674185 f(0.406)=-0.7674196 f(0.406)=-0.7674176
15： f(0.405)=-0.7674185 f(0.406)=-0.7674196 f(0.406)=-0.7674194 f(0.406)=-0.7674176
16： f(0.405)=-0.7674185 f(0.405)=-0.7674193 f(0.406)=-0.7674196 f(0.406)=-0.7674194

可以看出我們的最終區間爲(0.405,0.406)，精度爲0.001.
黃金分割法查找的點會被記錄在matplotlib繪製的函數圖像上，一目瞭然，可以看出，在最終區間精度爲0.001的情況下，我們的算法收斂速度很快。

$\qquad$ 繪圖可以看出函數在極小點附近非常平坦，極小值點差不多在0.405的位置，與文本文檔的數據一致。

3.3.斐波拉契法

$\qquad$ 斐波拉契法是一維搜索中壓縮比最高的搜索算法。斐波拉契法基於斐波拉契數列產生比例值，斐波拉契數列 $\lbrace F_n \rbrace$ 的定義如下：
$F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$
取分點時， $x_1=a+\frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a),x_2=a+\frac{F_{n-1}}{F_n}(b-a)$

$\begin{cases} x_1-a=\frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a) \\x_2-a=\frac{F_{n-1}}{F_n}(b-a) \\x_2-x_1=\frac{F_{n-1}-F_{n-2}}{F_n}(b-a)=\frac{F_{n-3}}{F_n}(b-a) \\b-x_2=\frac{F_{n}-F_{n-1}}{F_n}(b-a)=\frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a) \end{cases}$

1.若 $x_1＜x_2$ ，則取新區間爲 $[a,x_2]$ ，則 $\overline{DE}=\frac{F_{n-3}}{F_n}(b-a)，\overline{IJ}=\frac{F_{n-1}}{F_n}(b-a),\overline{CD}=\frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a), \\ \frac{CD}{IJ}=\frac{F_{n-2}}{F_{n-1}}，因此D相當於IJ中的x_2的位置\\只需要再取x_1=a+\frac{F_{n-3}}{F_{n-1}}(b-a)即可$

2.若 $x_1>x_2$ ，則取新區間爲 $[x_1,b]$ ，則 $\overline{DE}=\frac{F_{n-3}}{F_n}(b-a)，\overline{GH}=\frac{F_{n-1}}{F_n}(b-a),\overline{CD}=\frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a), \\ \frac{DE}{GH}=\frac{F_{n-3}}{F_{n-1}}，因此D相當於GH中的x_1的位置\\只需要再取x_2=a+\frac{F_{n-2}}{F_{n-1}}(b-a)即可$

對於要求精度esp，取壓縮比 $C=\frac{b-a}{esp}，F_n=min\lbrace x|x≥C,x∈N^+\rbrace$ ，按照上述方法迭代至分母爲 $F_2$ 爲止，最後按照以下方法進行：

Code Block

首先我們需要一個生產斐波那契數列（Fabonaci）的函數：

# 在本案例中，使用一次性生成斐波拉契列表的方法算法複雜度更低
# 生成的斐波拉契數列F(0)=0,F(1)=F(2)=1,剩餘項和普通斐波拉契數列類似
def Fab_list(Fmax):
    a,b=0,1
    Fablist = [a,b]  # 返回一個列表
    while Fablist[-1]< Fmax:
        a,b = b,a+b
        Fablist.append(b)
    return Fablist

再按照斐波那契法迭代編寫算法即可：
通用函數的編寫仍然參考以下鏈接：
[動態創建數學函數(CSDN)]
注：需要安裝matplotlib模塊、pylab模塊和Pillow模塊，版本爲python3

步驟：
Windows鍵+R，在【運行】窗口輸入cmd並回車，在命令提示行下輸入：
pip install matplotlib
pip install pylab
pip install Pillow
即可

from math import *
import matplotlib.pyplot as plt  # 繪圖模塊
from pylab import *  # 繪圖輔助模塊



# 通用函數f(x)靠用戶錄入
def function(x):
    fx = str_fx.replace("x", "%(x)f")  # 所有的"x"換爲"%(x)function"
    return eval(fx % {"x": x})  # 字典類型的格式化字符串，將所有的"x"替換爲變量x


# 繪圖函數：給定閉區間（繪圖間隔），繪圖間隔默認爲0.05，若區間較小，請自行修改
def drawf(a, b, interp=0.05):
    x = [a + ele * interp for ele in range(0, int((b - a) / interp))]
    y = [function(ele) for ele in x]
    plt.figure(1)
    plt.plot(x, y)
    xlim(a, b)
    title(init_str, color="b")  # 標註函數名
    plt.show()
    return "繪圖完成！"


# 在本案例中，使用一次性生成斐波拉契列表的方法算法複雜度更低
# 生成的斐波拉契數列F(0)=0,F(1)=F(2)=1,剩餘項和普通斐波拉契數列類似
def Fab_list(Fmax):
    a,b=0,1
    Fablist = [a,b]  # 返回一個列表
    while Fablist[-1]< Fmax:
        a,b = b,a+b
        Fablist.append(b)
    Fablist.pop()  # 舍掉最後一個元素
    return Fablist    


def Fabonaci_search(a, b, Fab):
    n = len(Fab)-1  # 獲取斐波那契數列的長度
    if n < 3:
        return "精度過低，無法進行斐波那契一維搜索"
    data = list()
    data.append([a, b])
    x1 = a + Fab[n - 2]/Fab[n] * (b - a)
    x2 = a + Fab[n - 1]/Fab[n] * (b - a)
    t = n
    while (t > 3):
        if function(x1) > function(x2):  # 如果f(x1)>f(x2)，則在區間(x1,b)內搜索
            a = x1
            x1 = x2
            x2 = a + Fab[t - 1]/Fab[t] * (b - a)
            plt.plot(x2, function(x2), 'r*')
            data.append([x1, b])
        elif function(x1) < function(x2):  # 如果f(x1)<(x2),則在區間(a,x2)內搜索
            b = x2
            x2 = x1
            x1 = a + Fab[t - 2]/Fab[t]* (b - a)
            plt.plot(x1, function(x1), 'r*')
            data.append([a, x2])
        else:  # 如果f(x1)=function(x2)，則在區間(x1,x2)內搜索
            a = x1
            b = x2
            x1 = a + Fab[t - 2]/Fab[t] * (b - a)
            x2 = a + Fab[t - 1]/Fab[t] * (b - a)
            plt.plot(x1, function(x1), 'r*', x2, function(x2), 'r*')
        data.append([x1, x2])
        t -= 1
    x1 = a + 0.5 * (b - a)  # 斐波那契數列第3項和第2項的比
    x2 = x1 + 0.1 * (b - a)  # 偏離一定距離，人工構造的點
    if function(x1) > function(x2):  # 如果f(x1)>function(x2)，則在區間(x1,b)內搜索
        plt.plot(x2, function(x2), 'r*')
        data.append([x1, b])
        a = x1
    elif function(x1) < function(x2):  # 如果f(x1)<function(x2),則在區間(a,x2)內搜索
        plt.plot(x1, function(x1), 'r*')
        data.append([a, x2])
        b = x2
    else:  # 如果f(x1)=function(x2)，則在區間(x1,x2)內搜索
        plt.plot(x1, function(x1), 'r*', x2, function(x2), 'r*')
        data.append([x1, x2])
    with open(r"C:\Users\ouni\桌面\一維搜索（黃金分割法）.txt", mode="w", encoding="utf-8")as a_file:
        for i in range(0, len(data)):
            a_file.write("%d：\t" % (i + 1))
            for j in range(0, 2):
                a_file.write("f(%.3f)=%.7f\t" % (data[i][j], function(data[i][j])))
            a_file.write("\n")
    print("寫入文件成功！")
    return [a, b]


init_str = input("請輸入一個函數，默認變量爲x：\n")  # 輸入的最初字符串
para = input("請依次輸入一維搜索的區間a,b和最終區間的精確值（用空格分隔）").split()  # 導入區間
para = [float(ele) for ele in para]  # 將輸入的字符串轉換爲浮點數
low, high, esp = para  # 輸入參數列表（最小值、最大值和最終精度）
str_fx = init_str.replace("^", "**")  # 將所有的“^"替換爲python的冪形式"**"
print(Fabonaci_search(low, high, Fab_list(int(ceil((high-low)/esp)))))  # 傳入區間和斐波拉契列表
drawf(low, high, (high - low) / 2000)  # 默認精度是2000個點

以下代碼請在交互式界面運行：

請輸入一個函數，默認變量爲x：
e^(-x)+x^2
請依次輸入一維搜索的區間a,b和最終區間的精確值（用空格分隔）0 1 0.01
寫入文件成功！
[0.3402663805075117, 0.35279320792829183]
關閉繪圖框以繼續交互式命令

文本文檔如下：

1： f(0.000)=1.0000000 f(1.000)=1.3678794
2： f(0.000)=1.0000000 f(0.382)=0.8284208
3： f(0.236)=0.8454509 f(0.382)=0.8284208
4： f(0.382)=0.8284208 f(0.618)=0.9209301
5： f(0.382)=0.8284208 f(0.472)=0.8465897
6： f(0.236)=0.8454509 f(0.382)=0.8284208
7： f(0.326)=0.8280571 f(0.382)=0.8284208
8： f(0.236)=0.8454509 f(0.326)=0.8280571
9： f(0.292)=0.8320851 f(0.326)=0.8280571
10：f(0.326)=0.8280571 f(0.382)=0.8284208
11： f(0.326)=0.8280571 f(0.347)=0.8272109
12： f(0.347)=0.8272109 f(0.382)=0.8284208
13： f(0.347)=0.8272109 f(0.361)=0.8273036
14： f(0.326)=0.8280571 f(0.347)=0.8272109
15： f(0.340)=0.8273620 f(0.347)=0.8272109
16： f(0.347)=0.8272109 f(0.361)=0.8273036
17： f(0.347)=0.8272109 f(0.354)=0.8271921
18： f(0.340)=0.8273620 f(0.353)=0.8271855
}

圖形如下：

可以看出函數的極小值確實在0.35附近，與文本文檔標定的一致。
注：以上程序請在Shell或Cmd中運行，如需當做模塊運行，請在主要程序的前面加上if __name__=="__main__"。

【python】最優化方法之一維搜索（黃金分割法+斐波那契法）

文章目錄

1.概念

2.遍歷搜索

3.優化算法

3.1.一維搜索原則

3.2.黃金分割法

Code Block

3.3.斐波拉契法

Code Block

容器中nginx無法使用同一個網絡下的容器域名

Python: SunMoonTimeCalculator

「Pygors跨平臺GUI」1：Pygors跨平臺GUI應用研究

NETCore中實現一個輕量無負擔的極簡任務調度ScheduleTask

docker使用特定的網絡

使用c#強大的表達式樹實現對象的深克隆之解決循環引用的問題

「Pygors跨平臺GUI」2：安裝MinGW-w64、MSYS2還是WSL2

nodejs學習07——API

避免DbContext同時在多個線程調用

GPT-4o 引領人機交互新風向，向量數據庫賽道沸騰了

最小拍控制系統詳細解讀（階躍輸入+速度輸入2個案例）【Simulink仿真】

C語言打印彩色字符——以（枚舉法+字符串查找）爲例展示

【Simulink】粒子羣算法（PSO）整定PID參數（附代碼和講解）

C語言實現動畫控制

Matlab仿真PID控制（帶M文件、simulink截圖和參數分析）

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