基於 Python 的 11 種經典數據降維算法|主成分分析（PCA）降維

主成分分析（PCA）降維

	PCA 是一種基於從高維空間映射到低維空間的映射方法，也是最基礎的無監督降維算法，其目標是向數據變化最大的方向投影，或者說向重構誤差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，屬於線性降維方法。與 PCA 相關的原理通常被稱爲最大方差理論或最小誤差理論。這兩者目標一致，但過程側重點則不同。

最大方差理論降維原理

將一組 N 維向量降爲 K 維(K 大於 0，小於 N)，其目標是選擇 K 個單位正交基，各字段兩兩間 COV(X,Y) 爲 0，而字段的方差則儘可能大。因此，最大方差即使得投影數據的方差被最大化，在這過程中，我們需要找到數據集 Xmxn 的最佳的投影空間 Wnxk、協方差矩陣等，其算法流程爲： 算法輸入：數據集 Xmxn;

• 按列計算數據集 X 的均值 Xmean，然後令 Xnew=X−Xmean;

• 求解矩陣 Xnew 的協方差矩陣，並將其記爲 Cov;

• 計算協方差矩陣 COV 的特徵值和相應的特徵向量;

• 將特徵值按照從大到小的排序，選擇其中最大的 k 個，然後將其對應的 k 個特徵向量分別作爲列向量組成特徵向量矩陣 Wnxk;

• 計算 XnewW，即將數據集 Xnew 投影到選取的特徵向量上，這樣就得到了我們需要的已經降維的數據集 XnewW。
  

最小誤差理論降維原理

而最小誤差則是使得平均投影代價最小的線性投影，這一過程中，我們則需要找到的是平方錯誤評價函數 J0(x0) 等參數。

詳細步驟可參考**《從零開始實現主成分分析 (PCA) 算法》**：https://blog.csdn.net/u013719780/article/details/78352262
主成分分析(PCA)代碼實現

from __future__ import print_function
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cmx
import matplotlib.colors as colors
import numpy as np
%matplotlib inline

def shuffle_data(X, y, seed=None):
   if seed:
     np.random.seed(seed)

   idx = np.arange(X.shape[0])
   np.random.shuffle(idx)

   return X[idx], y[idx]

# 正規化數據集 X
def normalize(X, axis=-1, p=2):
   lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))
   lp_norm[lp_norm == 0] = 1
   return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)

# 標準化數據集 X
def standardize(X):
   X_std = np.zeros(X.shape)
   mean = X.mean(axis=0)
   std = X.std(axis=0)

   # 做除法運算時請永遠記住分母不能等於 0 的情形
   # X_std = (X - X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0) 
   for col in range(np.shape(X)[1]):
     if std[col]:
       X_std[:, col] = (X_std[:, col] - mean[col]) / std[col]
   return X_std

# 劃分數據集爲訓練集和測試集
def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):
   if shuffle:
     X, y = shuffle_data(X, y, seed)
   n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))
   x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]
   y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]
  
   return x_train, x_test, y_train, y_test

# 計算矩陣 X 的協方差矩陣
def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):
   if not Y.any():
      Y = X
   n_samples = np.shape(X)[0]
   covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X - X.mean(axis=0)).T.dot(Y - Y.mean(axis=0))
   return np.array(covariance_matrix, dtype=float)

# 計算數據集 X 每列的方差
def calculate_variance(X):
   n_samples = np.shape(X)[0]
   variance = (1 / n_samples) * np.diag((X - X.mean(axis=0)).T.dot(X - X.mean(axis=0)))
   return variance

# 計算數據集 X 每列的標準差
def calculate_std_dev(X):
   std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))
   return std_dev

# 計算相關係數矩陣
def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):
   # 先計算協方差矩陣
   covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)
   # 計算 X, Y 的標準差
   std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)
   std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)
   correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))
  
   return np.array(correlation_matrix, dtype=float)

class PCA():
   """
   主成份分析算法 PCA，非監督學習算法.
   """
   def __init__(self):
     self.eigen_values = None
     self.eigen_vectors = None
     self.k = 2

   def transform(self, X):
     """ 
     將原始數據集 X 通過 PCA 進行降維
     """
     covariance = calculate_covariance_matrix(X)

     # 求解特徵值和特徵向量
     self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)

     # 將特徵值從大到小進行排序，注意特徵向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 個特徵值對應的特徵向量
     idx = self.eigen_values.argsort()[::-1]
     eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]
     eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]

     # 將原始數據集 X 映射到低維空間
     X_transformed = X.dot(eigenvectors)
   
     return X_transformed

def main():
   # Load the dataset
   data = datasets.load_iris()
   X = data.data
   y = data.target

   # 將數據集 X 映射到低維空間
   X_trans = PCA().transform(X)

   x1 = X_trans[:, 0]
   x2 = X_trans[:, 1]

   cmap = plt.get_cmap('viridis')
   colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]

   class_distr = []
   # Plot the different class distributions
   for i, l in enumerate(np.unique(y)):
       _x1 = x1[y == l]
       _x2 = x2[y == l]
       _y = y[y == l]
       class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))

   # Add a legend
   plt.legend(class_distr, y, loc=1)

   # Axis labels
   plt.xlabel('Principal Component 1')
   plt.ylabel('Principal Component 2')
   plt.show()

if __name__ == "__main__":
   main()

最終，我們將得到降維結果如下。其中，如果得到當特徵數 (D) 遠大於樣本數 (N) 時，可以使用一點小技巧實現 PCA 算法的複雜度轉換。

PCA 降維算法展示

當然，這一算法雖然經典且較爲常用，其不足之處也非常明顯。它可以很好的解除線性相關，但是面對高階相關性時，效果則較差;同時，PCA 實現的前提是假設數據各主特徵是分佈在正交方向上，因此對於在非正交方向上存在幾個方差較大的方向，PCA 的效果也會大打折扣。