前言
今天無意中翻了一下以前寫的堆排序文章，發現寫的也太Low了 . . .所以準備重新寫一篇文章來更詳細的講解堆排序，主要參考啊哈算法 和以前的一些資料，希望大家喜歡，今天也是放假的日子，但我還是選擇在學校留上幾天，希望大家喜歡這一篇文章 ^ _ ^ . . .
相關樹及C++堆排序一些文章：
1）《算法筆記》—— 堆排序算法（ C++實現）
2） 二叉搜索樹 —— 查找與排序
3） 紅黑樹基本功能 —— C++實現
4） 二叉樹（鏈式存儲）—— C++實現
5） 二叉樹（順序存儲）—— C++實現
下面我將更詳細的講解堆排序 . . .
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文章目錄：
1）刪除頂元素並且添加新元素
2）增加新元素
3）創建一個堆（關鍵的部分，如何創建），堆排序
那麼什麼是堆排序呢？ 讓我們看看度孃的解釋：
—— “堆排序（英語：Heapsort）是指利用堆這種數據結構所設計的一種 排序算法。
堆是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆積的性質：即 子結點的鍵值或索引總是小於（或者大於）它的父節點。”
首先，它是一種排序算法，然後它擁有的一些特性 . . . 下面讓我們來了解一下這個特性是什麼樣子的，走你 ~
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堆是一種特殊的完全二叉樹，就像下面這棵樹一樣：
這棵二叉樹有這麼一個特性：所有父結點都比子結點要小。
那麼這個特性有什麼用呢？—— 下面我們將講解堆的一些優秀的特性 . . .
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一）刪除頂元素並且添加新元素
我們現在需要刪除堆頂部的元素，然後將一個數23放到堆頂，我們將23調整到合適的位置。那們我們如何調整呢？當前結果爲如下的圖：
當然，聰明的你們肯定想到了， 向下調整！！ 我們將 23 與 它的兩個兒子（2，5）進行比較，與較小的一個互換位置，結果如下：
同理，我們依次重複的比較，將 23調整到最終的位置，包含它的移動路線：
我們將這個 23進行調整，竟然只進行了 3次比較，是不是非常的快速呢？ 現在最小的數在堆頂（2）。
效率提升的不是一星半點，當前我們肯定需要一個東西來進行比較，比如我們有 14個數字，分別是99、5、36、7、22、17、46、12、2、19、25、28 和 92，假如我們刪除最小的數後再添加一個新數，並且這樣的操作進行 14次，那麼它的時間複雜度將爲 O（14 ^2）即 O（ N ^2) . . .
假如現在我們有 1Y 個數，對它進行刪除最小數並且 新增一個數的操作（進行1Y次），我們只需要 2.7秒，它的複雜度爲 O（logN） . . .
結點數據向下調整的代碼如下：
下面我會展示出完整的代碼示例，這個圖片樣式的僅供參考學習 . . .
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二）增加新元素
如果我們想直接將新元素插入到堆之中，只需要將新元素放入到末尾，再將新元素向上調整，直至滿足堆的特性爲止 . . . 時間複雜度爲 O（logN），例如我們現在需要新增一個元素爲 3，它的運動軌跡如下所示：
最終效果如下所示：
結點數據向上調整的代碼如下：
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三）創建一個堆（關鍵的部分，如何創建）
首先，我們將數據依次的放入到堆中，然後設計一個算法將其中的數據進行調整，以便其滿足堆的特性（最小堆或者最大堆） . . .
將數據依次放入到堆中：
n = 0;
for(i = 1; i <= m; i++)
{
++n;
h[n] = a[i];
}
堆中數據進行調整：
for(i = n / 2; i >= 1; --i)
siftdown(i);
這兩行代碼是什麼意思呢？ 爲什麼 i 要從 n / 2 開始呢？
因爲我們調整堆中的數據滿足堆特性，只需要將每個根結點向下調整就行了，而最後葉子結點是沒有兒子結點的，所以我們只需要從倒數第二排開始即可，如下所示：
—— 堆排序
我們用這樣的思想就可以把一個堆調整好了，然後就可以使用我們的堆排序了，堆排序的時間複雜度是 O（NlogN），它與快速排序是一樣的，實現堆排序我們只需要每次刪除頂部元素並將頂部元素輸出，然後用最後一個元素賦值給頂結點，並且將這個新的頂點進行向下調整即可 . . .
刪除最大的元素代碼如下所示（長度 - 1，假如是最小堆）：
int deletemax()
{
int t;
t = h[1]; // 用於返回的值
h[1] = h[n]; // 最後一個元素賦值給頂結點
--n; // 長度 - 1
siftdown(1); // 向下調整（調整最小值到上面去）
return t; // 返回的數據
}
建堆以及堆排序的完整代碼如下所示：
當我們輸入下面的這些數據後：
14
99 5 36 7 22 17 46 12 2 19 25 28 1 92
運行結果是：
1 2 5 7 12 17 19 22 25 28 36 46 92 99
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當然我們還有更好的辦法，就是我們剛開始不是創建的最小堆，而是創建的是最大堆，最大堆創建好之後，最大的元素在 h[1]，我們需要的是將數據從小到大進行排序，大的數據放到最後面。因此，我們每次將最大值放到最後面，並且長度 - 1，這樣獲得的最大值就不會被影響到，然後我們利用與最大值交換的那個最小值進行向下調整，重複如此直至n的值爲0 . . .
代碼設計如下所示：
// 堆排序
void heapsort(){
while(n > 1){
swap(1, n);
--n;
siftdown(1);
}
}
這樣我們只需要在 main函數中調用這個方法之後，直接輸出堆中的數據即可：
// 堆排序
heapsort();
// 輸出
for(i = 1; i <= num; ++i)
printf("%d ", h[i]);
結果與上面是一樣的 . . .
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