[NOI Online #2 入門組] 魔法（矩陣加速） | 錯題本

題目

[NOI Online #2 入門組] 魔法

分析

$dp[i][j][k]$ 表示 $i$ 到 $j$ 用 $k$ 次魔法的最小代價，$f[i][j]$ 表示 $i$ 到 $j$ 用一次魔法的最小代價：
$dp[i][j][k] = \min \{dp[i][u][k - 1] + f[u][j], f[i][u] + dp[u][j][k - 1]\}$ 枚舉的中轉節點 $u$恰似 Floyd 算法，於是套路矩陣加速即可，$g[i][j]$ 表示不用魔法 $i$ 到 $j$ 最小代價，則答案爲 $g \times f^k$ 其中 $\times$ 號不是常規矩陣乘法，而與 DP 式相似，由於 $\min$ 有對 $+$ 的分配率（$a + \min\{b, c\} = \min\{a + b, a + c\}$），所以這個矩陣運算有結合律，所以可以快速冪。

錯因

• DP 式列錯，想的是轉移的最後一條邊用魔法，死活快速冪做不出來，實際上是最後一段的某一條邊用魔法；
• 分層圖騙分還沒有連 $u \to u'$ 代價爲 $0$ 的邊，70 pts $\to$ 50 pts。

代碼

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <vector>

typedef long long LL;

const int MAXN = 100;
const int MAXM = 2500;
const int MAXK = 1000;
const LL INF = 1ll << 60;

int N, M, K;
int U[MAXM + 5], V[MAXM + 5], W[MAXM + 5];
LL G[MAXN + 5][MAXN + 5], One[MAXN + 5][MAXN + 5], C[MAXN + 5][MAXN + 5];

LL Mul(LL A[MAXN + 5][MAXN + 5], LL B[MAXN + 5][MAXN + 5]) {
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++) {
            C[i][j] = INF;
            for (int k = 1; k <= N; k++)
                C[i][j] = std::min(C[i][j], A[i][k] + B[k][j]);
        }
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++)
            A[i][j] = C[i][j];
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N; j++)
            if (i != j)
                G[i][j] = One[i][j] = INF;
    for (int i = 1; i <= M; i++) {
        int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        G[u][v] = w, U[i] = u, V[i] = v, W[i] = w;
    }
    for (int k = 1; k <= N; k++)
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            for (int j = 1; j <= N; j++)
                G[i][j] = std::min(G[i][j], G[i][k] + G[k][j]);
    if (!K)
        return printf("%lld", G[1][N]), 0;
    for (int k = 1; k <= M; k++)
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            for (int j = 1; j <= N; j++)
                One[i][j] = std::min(One[i][j], G[i][U[k]] + G[V[k]][j] - W[k]);
    while (K) {
        if (K & 1)
            Mul(G, One);
        Mul(One, One);
        K >>= 1;
    }
    printf("%lld", G[1][N]);
    return 0;
}