軟考筆記（2）--校驗碼（海明碼）

概念

海明碼（Hamming Code）是一種利用奇偶性來檢錯和糾錯的校驗方法。海明碼的構成方法是在數據位之間的特定位置上插入k個校驗位，通過擴大碼距來實現檢錯和糾錯。

要點

現在舉個例子，以下均以該例子說明。
例子：
有個數據位爲8的數據D₇D₆D₅D₄D₃D₂D₁D₀=01101001,求海明碼。
先上結果：

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
D7	D6	D5	D4	P4	D3	D2	D1	P3	D0	P2	P1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
0	1	1	0	P4	1	0	0	P3	1	P2	P1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
0	1	1	0	0	1	0	0	1	1	0	1

要點1（計算校驗位個數）

設數據位是n位，校驗位是k位，則n和k必須滿足以下關係：
2^k - 1 ≥ n + k
例如一個數據的數據位爲8位，求需要多少位校驗碼，則有2^k - 1 ≥ 8 + k，可以得到k最小應該爲4，即2⁴ - 1 ≥ 8 + 4。

要點2（計算校驗位位置）

2-1 （海明碼總位數）

設校驗位爲P，數據位爲D，海明碼爲H，則海明碼H的位數爲校驗碼和數據的位數相加。

2-2 （校驗碼位置）

校驗位P在海明碼的第2^i-1位，即H_j = P_i，j=2^i-1，i從1開始計數。無論是海明碼、校驗位還是數據位，均從右向左排列，即從低位向高位排列。
可先填入校驗碼的位置，再將數據位依次從低位到高位填入。
例如：

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
D7	D6	D5	D4	P4(24-1位)	D3	D2	D1	P3(23-1位)	D0	P2(22-1位)	P1(21-1位)

要點3 （數據由哪些校驗碼進行校驗）

根據上面求出的校驗碼的位置或者2^i-1的公式，即可知道P₄、P₃、P₂、P₁的下標分別爲8、4、2、1。
現在要確定一下每位數據均由哪些校驗碼進行校驗的。
方法：數據爲的下標等於校驗位的下標之和。
D₀=H₃，3=2+1，即用H₂、H₁進行校驗，即P₂、P₁。
D₁=H₅，5=4+1，即用H₄、H₁進行校驗，即P₃、P₁。
D₂=H₆，6=4+2，即用H₄、H₂進行校驗，即P₃、P₂。
D₃=H₇，7=4+2+1，即用H₄、H₂、H₁進行校驗，即P₃、P₂、P₁。
D₄=H₉，9=8+1，即用H₈、H₁進行校驗，即P₄、P₁。
D₅=H₁₀，10=8+2，即用H₈、H₂進行校驗，即P₄、P₂。
D₆=H₁₁，11=8+2+1，即用H₈、H₂、H₁進行校驗，即P₄、P₂、P₁。
D₇=H₁₂，12=8+4，即用H₈、H₄進行校驗，即P₄、P₃。

要點4 （計算校驗碼的值）

校驗碼的值爲有參與校驗的數據依次從低到高異或的值。
由要點3可以看出以下規律：
P₁參與了D₀、D₁、D₃、D₄、D₆等數據位的校驗。
P₂參與了D₀、D₂、D₃、D₅、D₆等數據位的校驗。
P₃參與了D₁、D₂、D₃、D₇等數據位的校驗。
P₄參與了D₄、D₅、D₆、D₇等數據位的校驗。
所以：（D₇D₆D₅D₄D₃D₂D₁D₀=01101001）
P₁ = D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆ = 1⊕0⊕1⊕0⊕1 = 1
P₂ = D₀⊕D₂⊕D₃⊕D₅⊕D₆ = 1⊕0⊕1⊕1⊕1 = 0
P₃ = D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₇ = 0⊕0⊕1⊕0 = 1
P₄ = D₄⊕D₅⊕D₆⊕D₇ = 0⊕1⊕1⊕0 = 0

要點5（錯誤校驗）

確定錯誤校驗G₄G₃G₂G₁，校驗碼有幾位，錯誤校驗就有幾位。
如果採用偶校驗則結果全爲0時沒有錯誤，如果採用奇校驗則結果全爲1時沒有錯誤
G₁ = P₁D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆ = 1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1 = 0
G₂ = P₂D₀、D₂、D₃、D₅、D₆ = 0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1 = 0
G₃ = P₃D₁、D₂、D₃、D₇ = 1⊕0⊕0⊕1⊕0 = 0
G₄ = P₄D₄、D₅、D₆、D₇ = 0⊕0⊕1⊕1⊕0 = 0

則G₄G₃G₂G₁ = 0000，表示沒有異常。假如結果爲0100則轉爲十進制爲8，表示第八位存在異常。