並行算法——雙調排序

• Bitonic Sequences

首先來介紹一下什麼叫做雙調序列，我認爲，這個序列是一個先增再減的序列(或者先減再增)，判斷方法是這樣滴，首先，將序列第一個元素和最後一個元素連一條線，構成一個環，然後計算每條線的增減性，如果是下面這樣的序列，就可以叫做Bitonic Sequences，在算法中，通常要求長度是2**k

再舉個簡單的例子：

好了，這就是雙調排序的基礎，下面我們來看一下如何利用這種雙調序列

• Bitonic Split

這一步做了什麼呢，其實很簡單，就是將一個雙調序列分成兩個雙調序列

怎麼分呢，

這樣，就形成了一個的雙調序列和一個的雙調序列，如下圖所示

且你會發現左邊的最大值會小於等於右邊的最小值，這就爲我們實現並行提供了基礎：左右同時計算即可

• Bitonic Merge

這個就是那個排序的函數了，僞代碼也比較好寫

void BitnoicMerge(A[0..n-1])
{
    //要求n是偶數
    if(n>=2)
    {
         BitnoicSplit(A[0..n-1]);
         BitnoicMerge(A[0..n/2-1]); //這兩個BitnoicMerge是可以並行執行的
         BitnoicMerge(A[n/2..n-1]);
    }

}

可是，一般序列都是任意的，我們怎麼樣把它轉化成一個雙調序列呢？

• How to form a Bitonic Sequence

這裏我們也是用了一下遞歸分治的思想，你想啊，如果一個序列前半段是增序列，後半段是減序列，那麼這個序列不就是一個雙調序列了麼，且如果一個序列的size是2，他也是一個雙調序列

僞代碼如下：

void genBitonic(A[0..n-1])
{
    genBitonic(A[0..n/2-1]);
    genBitonic(A[n/2..n-1]);

    BitonicMerge_add(A[0..n/2-1]);
    BitonicMerge_minus(A[n/2..n-1]); //前半段增序後半段降序，這不就是一個雙調序列麼，可是這個函數只能處理雙調序列的排序，所以前面要有genBitonic
}

• 複雜度分析

該算法串行時間複雜度，span complexity是, 分析過程如下

首先，我們可以看到，該算法主要的複雜度在genBitonic上面，那麼這個過程是什麼樣的呢，可以通過下面這張圖片來理解

可以看到，其DAG圖計算的span complexity爲1+2+...+log n，即，這個span沒有計算並行for循環的span，將其視作O(1)而不是O(log n)，至於work complexity呢，可以觀察上圖每一個span節點，其同階段節點共有n/2個(因爲兩兩比較)，然後就可以輕鬆計算出串行時間複雜度了，這個看圖比較容易理解，看代碼反而不容易理解了

至於BitonicMerge的時間複雜度啥的，可以通過上圖的一個同色方框來理解，其span complexity是O(log n), work complexity是O(nlog n)