北郵通信原理知識點筆記小結-下半部分
採樣定理，又稱香農採樣定律、奈奎斯特採樣定律，是信息論，特別是通訊與信號處理學科中的一個重要基本結論。
採樣是將一個信號（即時間或空間上的連續函數）轉換成一個數值序列（即時間或空間上的離散函數）。
採樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。採樣定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。
抽樣定理：設時間連續信號f(t)，其最高截至頻率爲fm ，如果時間間隔爲T<=1/2fm 的開關信號對f(t)進行抽樣時，則f(t)就可被樣值信號唯一地表示。此條件也可以表示爲：抽樣頻率fs >=2fh 。
注意要點 ：
不是說通過抽樣信號就是立馬可以得到原信號，我們還需要對其進行濾波 ；
模擬信號 ->抽樣-> 抽樣信號 -> 低通濾波 -> 模擬信號 ，這個過程完成了信號的模-數轉換和數-模轉換過程；
原理解釋 ：
理想的抽樣信號時域可以被表示爲等時間間隔的單位衝擊序列：δ T ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k T s )
\delta _ { T } ( t ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \delta \left( t - k T _ { s } \right)
δ T ( t ) = k = − ∞ ∑ ∞ δ ( t − k T s ) F s ( ω ) = 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ F ( ω − k ω s )
F _ { s } ( \omega ) = \frac { 1 } { T _ { s } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } F \left( \omega - k \omega _ { s } \right)
F s ( ω ) = T s 1 k = − ∞ ∑ ∞ F ( ω − k ω s )
下圖爲常見的廣義義通信系統框圖：
信號的傳輸媒質稱爲狹義信道。
如果除傳輸媒質外，還包括通信系統的某些設備，例如天線、收發信機、編譯碼器、調 制解調器等所構成的部份稱爲廣義信道。由調製器、傳輸媒質、解調器組成的廣義信道稱爲 編碼信道；由發射機、天線、傳輸媒質、天線、接收機所組成的廣義信道稱爲調製信道。
如果信道模型的線性算子與時間無關（即爲非時變線性算子），則信道稱爲恆參信道。 如果線性算子與時間有關（即爲時變線性算子），則信道稱爲時變信道；如果線性算子隨時間隨機變化，則稱信道爲隨參信道，從物理角度講，恆參信道的特性不隨時間變化；時變信道的特性隨時間變化；隨參信道的特性隨時間隨機變化。
爲了分析信道的性質及其對信號傳輸的影響，我們需要建立信道的數學模型。信道 的數學模型反映了信道的輸出和輸入之間的關係。
調製信道具有以下主要性質：
具有一對（或多對）輸入和輸出端。
大多數信道是線性的，即滿足疊加原理。
信號經過信道會有延時，並還會受到固定的或時變的損耗。
當輸入信號爲 0 時，在信道的輸出端仍有噪聲輸出。
根據上述性質，我們可用一個兩端（或多端）時變線性網絡來表示調製信道，如圖所示：
s o ( t ) = f 1 [ s 1 ( t ) ] + n ( t )
s _ { o } ( t ) = f _ { 1 } \left[ s _ { 1 } ( t ) \right] + n ( t )
s o ( t ) = f 1 [ s 1 ( t ) ] + n ( t )
一般情況，調製信道可能有不止一個輸入端（假設爲 m 個）和不止一個輸出端（假設爲 n 個），這種調製信道的數學模型是一個多輸入端和多輸出端的時變線性網絡，如下圖所示：
s o j ( t ) = f j l [ s i l ( t ) , s i a ( t ) , … s i m ( t ) ] + n j ( t ) j = 1 , 2 … n
\begin{array} { c } { s _ { o j } ( t ) = f _ { j l } \left[ s _ { i l } ( t ) , s _ { i a } ( t ) , \ldots s _ { i m } ( t ) \right] + n _ { j } ( t ) } \\ { j = 1,2 \ldots n } \end{array}
s o j ( t ) = f j l [ s i l ( t ) , s i a ( t ) , … s i m ( t ) ] + n j ( t ) j = 1 , 2 … n
編碼信道的輸入和輸出都是數字序列（信號），因此在通信理論中稱編碼信道爲離散信道或數字信道。編碼信道的數學模型反映其輸出數字序列和其輸入數字序列之間的關係，通常是一種概率關係，用輸入輸出序列的轉移概率描述 。 下圖是二進制數字傳輸系統的編 碼信道模型，其中：
P 00 = P ( 0 / 0 ) ; P 01 = P ( 0 / 1 ) P 10 = P ( 1 / 0 ) ; P 11 = P ( 1 / 1 )
\begin{aligned} P _ { 00 } & = P ( 0 / 0 ) ; P _ { 01 } = P ( 0 / 1 ) \\ P _ { 10 } & = P ( 1 / 0 ) ; P _ { 11 } = P ( 1 / 1 ) \end{aligned}
P 0 0 P 1 0 = P ( 0 / 0 ) ; P 0 1 = P ( 0 / 1 ) = P ( 1 / 0 ) ; P 1 1 = P ( 1 / 1 )
恆參信道可以看作是一個非時變線性網絡。線性網絡的特性是其單位衝激響應 h(t)（時 域）和傳輸特性 H(ω)（頻域）。
0 ) ;其中：k,t0爲常數。
h(t)=kδ(t—t0 )
由此可得到滿足信號經過信道不失真要求的 H(ω)：H ( ω ) = ∣ H ( ω ) ∣ e j φ ( ω ) = k e − j ω c 0
H ( \omega ) = | H ( \omega ) | e ^ { j \varphi ( \omega ) } = k ^ { e - j \omega c _ { 0 } }
H ( ω ) = ∣ H ( ω ) ∣ e j φ ( ω ) = k e − j ω c 0
數字基帶信號就是消息代碼的電波形。
類型：矩形、升餘弦、高斯形、半餘弦脈衝。
介紹幾種最基本的基帶信號波形（矩形脈衝）：
（1）單極性不歸零
（2）雙極性不歸零
（3）單極性歸零
（4）雙極性歸零波形
（5）差分波形：（相對碼波形）
（6）多值波形（多電平波形）
數字基帶信號的生成、傳輸、判決模型：
基帶信號是一個隨機脈衝序列。
隨機脈衝序列可表示成：S ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ s n ( t ) S n ( t ) = { g 1 ( t − n T s ) − − − − − P g 2 ( t − n T s ) − − − − − 1 − P
\begin{array} { l } { S ( t ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } s _ { n } ( t ) } \\ { S _ { n } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l } { g _ { 1 } \left( t - n T _ { s } \right)-----P } \\ { g _ { 2 } \left( t - n T _ { s } \right)-----1-P } \end{array} \right.} \end{array}
S ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ s n ( t ) S n ( t ) = { g 1 ( t − n T s ) − − − − − P g 2 ( t − n T s ) − − − − − 1 − P s 爲每一碼元的寬度。 g1 (t)、g2 (t)是任意的脈衝，分別代表着數字信號0、1；
任一碼元時間 g1 (t), g2 (t)出現的概率分別爲 P 和 1-P，它們的出現是互不依賴的 （統計獨立）。
介紹一種隨機序列譜分析的典型方法，這是數字信號常見的頻譜表示方式：P s ( ω ) = f s P ( 1 − P ) ∣ G 1 ( f ) − G 2 ( f ) ∣ 2 + ∑ m = − ∞ ∞ f s [ P G 1 ( m f s ) + ( 1 − P ) G 2 ( m f s ) ] ∣ 2
\begin{aligned} P _ { s } ( \omega ) & = f _ { s } P ( 1 - \mathrm { P } ) \left| G _ { 1 } ( f ) - \mathrm { G } _ { 2 } ( f ) \right| ^ { 2 } \\ & + \left. \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } f _ { s } \left[ P G _ { 1 } \left( m f _ { s } \right) + ( 1 - P ) G _ { 2 } \left( m f _ { s } \right) \right] \right| ^ { 2 } \end{aligned}
P s ( ω ) = f s P ( 1 − P ) ∣ G 1 ( f ) − G 2 ( f ) ∣ 2 + m = − ∞ ∑ ∞ f s [ P G 1 ( m f s ) + ( 1 − P ) G 2 ( m f s ) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2
（1）包括兩個部分：連續譜及離散譜；
（2）連續譜總是存在；
（3）離散譜不總是存在；
（4）分析頻譜的特點明確能否從脈衝序列中直接提取離散分量位同步、載波同步；
（5）g1(t)、g2(t)波形沒有加以限定，故：此法同樣可確定調製波形的功率譜密度；
另一種隨機序列譜分析的方法 MPAM 的一般形式可表示爲（這裏我們從相關函數和功率譜關係的角度出發）：
{an}廣義平穩，以一定的概率取 M 個電平中的一個值。P s ( f ) = F { R s ( τ ) } = 1 T s ∑ m = − ∞ + ∞ R a ( m ) ∫ − ∞ + ∞ R g ( τ − m T s ) e − j 2 π τ d τ = 1 T s ∑ m = − ∞ + ∞ R a ( m ) e − j 2 π f m T s ∫ − ∞ + ∞ R g ( τ − m T s ) e − j 2 π f ( τ − m T s ) d ( τ − m T s ) = 1 T s P a ( f ) ∣ G T ( f ) ∣ 2
\begin{aligned} P _ { s } ( f ) & = \mathrm { F } \left\{ R _ { s } ( \tau ) \right\} = \frac { 1 } { T _ { s } } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } R _ { a } ( m ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } R _ { g } \left( \tau - m T _ { s } \right) e ^ { - j 2 \pi } \tau d \tau \\ & = \frac { 1 } { T _ { s } } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } R _ { a } ( m ) e ^ { - j 2 \pi f m T _ { s } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } R _ { g } \left( \tau - m T _ { s } \right) e ^ { - j 2 \pi f ^ { \left( \tau - m T _ { s } \right) } } d \left( \tau - m T _ { s } \right) \\ & = \frac { 1 } { T _ { s } } P _ { a } ( f ) \left| G _ { T } ( f ) \right| ^ { 2 } \end{aligned}
P s ( f ) = F { R s ( τ ) } = T s 1 m = − ∞ ∑ + ∞ R a ( m ) ∫ − ∞ + ∞ R g ( τ − m T s ) e − j 2 π τ d τ = T s 1 m = − ∞ ∑ + ∞ R a ( m ) e − j 2 π f m T s ∫ − ∞ + ∞ R g ( τ − m T s ) e − j 2 π f ( τ − m T s ) d ( τ − m T s ) = T s 1 P a ( f ) ∣ G T ( f ) ∣ 2
信號通過一個系統後的輸出功率譜爲原信號乘以此係統函數的模的平方：P a ( f ) = ∑ m = − ∞ + ∞ R a ( m ) e − j 2 π f m T s P s ( f ) = 1 T s P a ( f ) ∣ G T ( f ) ∣ 2 = σ 2 a T s ∣ G T ( f ) ∣ 2 + m a 2 T s 2 ∑ m = − ∞ + ∞ ∣ G T ( m T s ) ∣ 2 δ ( f − m T s )
\begin{array} { l } {P_{a}(f) = \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } R _ { a } ( m ) e ^ { - j 2 \pi f m T _ { s } } } \\ { P _ { s } ( f ) = \frac { 1 } { T _ { s } } P _ { a } ( f ) \left| G _ { T } ( f ) \right| ^ { 2 } } \\ { = \frac { \sigma ^ { 2 } a } { T _ { s } } \left| G _ { T } ( f ) \right| ^ { 2 } + \frac { m _ { a } ^ { 2 } } { T _ { s } ^ { 2 } } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } \left| G _ { T } \left( \frac { m } { T _ { s } } \right) \right| ^ { 2 } \delta \left( f - \frac { m } { T _ { s } } \right) } \end{array}
P a ( f ) = ∑ m = − ∞ + ∞ R a ( m ) e − j 2 π f m T s P s ( f ) = T s 1 P a ( f ) ∣ G T ( f ) ∣ 2 = T s σ 2 a ∣ G T ( f ) ∣ 2 + T s 2 m a 2 ∑ m = − ∞ + ∞ ∣ ∣ ∣ G T ( T s m ) ∣ ∣ ∣ 2 δ ( f − T s m )
（1）能從其相應的基帶信號中獲取定時信息。
（2）相應的基帶信號無直流 或有很小的低頻成分。
（3）不受信息源統計特性的影響。
（4）儘可能地提高傳輸碼型的傳輸效率。
（5）具有內在的檢錯能力。
基帶信號的傳輸模型：
系統函數爲：
H(ω)=GT (ω)C(ω)GR (ω)
我們設接收端判決前的信號r(t)可以表示爲如下：r ( t ) = ∑ a n δ ( t − n T s ) ∗ h ( t ) + n ( t ) = ∑ a n h ( t − n T s ) + n ( t )
r(t)=\sum a_{n} \delta\left(t-n T_{s}\right) * h(t)+n(t)=\sum a_{n} h\left(t-n T_{s}\right)+n(t)
r ( t ) = ∑ a n δ ( t − n T s ) ∗ h ( t ) + n ( t ) = ∑ a n h ( t − n T s ) + n ( t ) s 爲碼元寬度、n代表第n個碼元，而n(t)仍代表噪聲。
在數字信號中，在獲取了數字信號的單個碼元寬度之後，有： 第 K 個碼元的判決，由第 K 次抽樣決定，那麼第k次抽象的信號r(kTs )可以表示爲：r ( k T s ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n h ( k T s − n T s ) + n ( k T s ) = a k h ( 0 ) + ∑ a n h [ ( k − n ) T s ] + n ( k T s )
\begin{aligned} r\left(k T_{s}\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} h\left(k T_{s}-n T_{s}\right)+n(kT_{s}) \\ &=a_{k} h(0)+\sum a_{n} h\left[(k-n) T_{s}\right]+n\left(k T_{s}\right) \end{aligned}
r ( k T s ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n h ( k T s − n T s ) + n ( k T s ) = a k h ( 0 ) + ∑ a n h [ ( k − n ) T s ] + n ( k T s ) k h(0)爲我們所需要的第k個碼片的抽樣，但是由於其乘以了h(0)，所以可能會有傳輸失真。∑ n ≠ k a n h [ ( k − n ) T s ]
\sum_{n≠k} a_{n} h[(k-n)T_{s}]
n = k ∑ a n h [ ( k − n ) T s ]
n(kTs )則是噪聲在第k次抽樣時刻的取值。
我們假設上述的基帶信號傳輸模型是二進制，若要進行判決，則需要使用二分法進行判斷，如果r(kTs )大於某個值，就判決其爲1，否則判決爲0，模型如下：
設門限爲V:
r(kTs )>V------ak =1
r(kTs )<V------ak =0
如果要求判決值儘可能僅僅只和ak h(0)有關，那麼我們起碼要求：碼間干擾及噪聲需要足夠小。
無碼見干擾的條件：
要求：∑ n ≠ k a n h [ ( k − n ) T s ] = 0
\sum_{n≠k} a_{n} h[(k-n)T_{s}]=0
n = k ∑ a n h [ ( k − n ) T s ] = 0 n 作爲一個隨機取值的信號，這樣的建模十分複雜。所以我們簡化模型，整體和爲 0 的一個特殊情況就是和的每項值都取值爲0，這樣一來問題就簡化爲以下模型：h ( k T s ) = { 1 − − − k = 0 0 − − − k ≠ 0 , k 爲 整 數
h\left(k T_{s}\right)=\left\{\begin{array}{l}{1---k=0} \\ {0---k \neq 0, k爲整數}\end{array}\right.
h ( k T s ) = { 1 − − − k = 0 0 − − − k = 0 , k 爲 整 數 s )H(ω)可用付氏變換求得。 ——抽樣點上無碼間干擾，Nypuist 第一準則 。
下面將時域信號經過反傅里葉變換，用頻域信號表示，有：h ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) e j a x d ω h ( k T s ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) e j a t T s d ω
\begin{array}{c}{h(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(\omega) e^{j a x} d \omega} \\ {h\left(k T_{s}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(\omega) e^{j a t T_{s}} d \omega}\end{array}
h ( t ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) e j a x d ω h ( k T s ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ H ( ω ) e j a t T s d ω
∑ i H ( ω + 2 π i T s ) = T s ∣ ω ∣ ≤ π T s H e q ( ω ) = { ∑ i H ( ω + 2 π i T s ) = T s − − ∣ ω ∣ ≤ π T s 0 − − − − − − − − − − − ∣ ω ∣ ≥ π T s
\begin{array}{l}{\sum_{i} H\left(\omega+\frac{2 \pi i}{T_{s}}\right)=T_{s} \quad|\omega| \leq \frac{\pi}{T_{s}}} \\ {\qquad H_{e q}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}{\sum_{i} H\left(\omega+\frac{2 \pi i}{T_{s}}\right)=T_{s}--|\omega| \leq \frac{\pi}{T_{s}}} \\ {0-----------|\omega|} {\geq \frac{\pi}{T_{s}}}\end{array}\right.}\end{array}
∑ i H ( ω + T s 2 π i ) = T s ∣ ω ∣ ≤ T s π H e q ( ω ) = { ∑ i H ( ω + T s 2 π i ) = T s − − ∣ ω ∣ ≤ T s π 0 − − − − − − − − − − − ∣ ω ∣ ≥ T s π
上式就是無碼見干擾的基帶傳輸系統的頻域條件。
Nyquist 第一準則的物理意義：
H(ω)用間隔 2π/Ts 分割後，在區間（-π/Ts ,π/Ts ）上能否疊加出一根水平直線(即爲某常數，比如上式中的Ts )，爲某常數既是符合無碼間干擾條件的。滿足此條件的 H(ω)有不少，下面給出常見的例子：
1.理想低通型（即頻域的門信號）
頻域爲門信號，那麼時域即爲Sa函數，如下圖所示：
s （注意，時域h(t)間越緊湊，碼元速率越快）。
此時頻域中門信號的寬度爲1/Ts ，帶寬爲1/2Ts ，所以最高頻帶利用率爲：R B ( B ) B ( H z ) = 2
\frac{R_{B}(B)}{B\left(H_{z}\right)}=2
B ( H z ) R B ( B ) = 2
2. 實際的濾波器（實際的碼元頻域波形）
實際上把 H(ω)按間隔 2π/Ts的寬度分割成三段，只要這三段在區間（-π/Ts ,π/Ts ） 上能疊加出理想濾波特性來，則 H(ω)也能消除碼間干擾。下圖表示了分割及疊加的過程：
2 /W1
上述類型的頻域信號被稱爲升餘弦滾降信號。
W1 是無滾降時的截止頻率。 W2 爲滾降部分的截止頻率。
採用具有升餘頻譜特性的 H（ω）可用下式表示:H ( ω ) = { T s , − − − − − − − − − − − − − − 0 ≤ ∣ ω ∣ < ( 1 − a ) π T s T s 2 [ 1 + sin T s 2 a ( π T s − ω ) ] , − − ( 1 − a ) π T s ≤ ∣ ω ∣ < ( 1 + a ) π T s 0 , − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∣ ω ∣ ≥ ( 1 + a ) π T s
H(\omega)=\left\{\begin{array}{l}{T_{s},--------------0 \leq|\omega|<\frac{(1-a) \pi}{T_{s}}} \\ {\frac{T_{s}}{2}\left[1+\sin \frac{T_{s}}{2 a}\left(\frac{\pi}{T_{s}}-\omega\right)\right],--\frac{(1-a) \pi}{T_{s}} \leq|\omega|<\frac{(1+a) \pi}{T_{s}}} \\ {0,------------------------|\omega| \geq \frac{(1+a) \pi}{T_{s}}}\end{array}\right.
H ( ω ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ T s , − − − − − − − − − − − − − − 0 ≤ ∣ ω ∣ < T s ( 1 − a ) π 2 T s [ 1 + sin 2 a T s ( T s π − ω ) ] , − − T s ( 1 − a ) π ≤ ∣ ω ∣ < T s ( 1 + a ) π 0 , − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∣ ω ∣ ≥ T s ( 1 + a ) π
h ( t ) = sin π t / T s π t / T s ⋅ cos π t / T s 1 − 4 a 2 t 2 / T s 2
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\frac{\sin \pi t / T_{s}}{\pi t / T_{s}} \cdot \frac{\cos \pi t / T_{s}}{1-4 a^{2} t^{2} / T_{s}^{2}}
h ( t ) = π t / T s sin π t / T s ⋅ 1 − 4 a 2 t 2 / T s 2 cos π t / T s
無碼間干擾情況下的判決實際上非常簡單，可以簡化爲以下模型：
抽點：信號+噪聲：
x(t)= ±A+nR (t)-------其中正負號對應着0、1數字信號的電平。f 1 x = 1 2 π σ n e − ( x − A ) 2 2 σ n 2
{f_{1} x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_{n}}} e^{-\frac{(x-A)^{2}}{2 \sigma_{n}^{2}}}}
f 1 x = 2 π σ n 1 e − 2 σ n 2 ( x − A ) 2 e 代表誤碼率，誤碼率實際上使用高斯分佈的積分就能算出來，當0、1等概時，誤碼率可以化簡爲：P e = 1 2 P ( 1 / 0 ) + 1 2 P ( 0 / 1 ) = 1 2 erfc ( A 2 σ n )
P_{e}=\frac{1}{2} P(1 / 0)+\frac{1}{2} P(0 / 1)=\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2 \sigma_{n}}}\right)
P e = 2 1 P ( 1 / 0 ) + 2 1 P ( 0 / 1 ) = 2 1 e r f c ( 2 σ n A )
思想：
有控制地在某些碼元的抽樣時刻引入碼間干擾，而在其餘碼元 的抽樣時刻無碼間干擾。
能使頻帶利用率提高到理論上的最大值，又可以降低對定時精度的要求。
利用部分響應波形進行傳送的基帶傳輸系統稱爲部分響應系統。
部分響應系統：有碼間干擾，頻帶利用率與理想低通系統相同，不滿足 Nyquist 第一準則。
干擾—“干擾是確定的。
在此處就不詳細闡述如何控制可以確定的碼間干擾。
定義:
在基帶系統中插入一種可調(也可不調)濾波器能減小碼間干擾的影響，這種起補償的濾波器均衡器被稱爲時域均衡器。
分類：
頻域均衡器: 利用可調濾波器的頻率特性去補償基帶系統的頻率特性，使包括可調濾波器在內的基帶系統的總特性滿足要求。
時域均衡器: 利用波形補償的方法將畸變的波形加以校正，使校正後的波形畸變最小。
具體的函數在此不展開了（公式太費時間了~）。
引用於：知乎-劉梳子通原
假設nw (t)爲加性高斯白噪聲，其功率譜取值大小恆爲N0 /2，那麼其經過濾波器的輸出功率爲（N0 /2爲常數可以提出）：P n o = E [ n o 2 ( t ) ] = N 0 2 ∫ − ∞ ∞ ∣ h ( t ) ∣ 2 d t = N 0 2 E h
P_{n_{o}}=E\left[n_{o}^{2}(t)\right]=\frac{N_{0}}{2} \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|^{2} d t=\frac{N_{0}}{2} E_{h}
P n o = E [ n o 2 ( t ) ] = 2 N 0 ∫ − ∞ ∞ ∣ h ( t ) ∣ 2 d t = 2 N 0 E h y ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) s ( t − τ ) d τ y ( t 0 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) s ( t 0 − τ ) d τ
\begin{array}{l}{y(t)=s(t) * h(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s(t-\tau) d \tau} \\ {y\left(t_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s\left(t_{0}-\tau\right) d \tau}\end{array}
y ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) s ( t − τ ) d τ y ( t 0 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) s ( t 0 − τ ) d τ γ o = ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 P n 0 = [ ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) s ( t 0 − τ ) d τ ] 2 P n 0 ≤ [ ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) d τ ] 2 [ ∫ − ∞ ∞ s ( t 0 − τ ) d τ ] 2 P n 0
\gamma_{o}=\frac{\left|y\left(t_{0}\right)\right|^{2}}{P_{n_{0}}}=\frac{\left[\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s\left(t_{0}-\tau\right) d \tau\right]^{2}}{P_{n_{0}}} \leq \frac{\left[\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) d \tau\right]^{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t_{0}-\tau\right) d \tau\right]^{2}}{P_{n_{0}}}
γ o = P n 0 ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 = P n 0 [ ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) s ( t 0 − τ ) d τ ] 2 ≤ P n 0 [ ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) d τ ] 2 [ ∫ − ∞ ∞ s ( t 0 − τ ) d τ ] 2 h ( t ) = K s ( t 0 − t ) ; H ( f ) = K S ∗ ( f ) e − j 2 π f 0 t 0
h(t)=K s\left(t_{0}-t\right) ; H(f)=K S^{*}(f) e^{-j 2 \pi f_{0} t_{0}}
h ( t ) = K s ( t 0 − t ) ; H ( f ) = K S ∗ ( f ) e − j 2 π f 0 t 0 to 可見可以有無數個取值，但是爲了滿足因果性最小，一般t0 取s(t)碼元寬度T。
此時輸出信號的大小爲：y ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) = s ( t ) ∗ K s ( T − t ) = K ∫ − ∞ ∞ s ( T − t + τ ) s ( τ ) d τ = K R s ( t − T ) y ( T ) = K ∫ 0 T S 2 ( τ ) d τ
\begin{array}{l}{y(t)=s(t)^{*} h(t)=s(t) * K s(T-t)=K \int_{-\infty}^{\infty} s(T-t+\tau) s(\tau) d \tau=K R_{s}(t-T)} \\ {y(T)=K \int_{0}^{T} S^{2}(\tau) d \tau}\end{array}
y ( t ) = s ( t ) ∗ h ( t ) = s ( t ) ∗ K s ( T − t ) = K ∫ − ∞ ∞ s ( T − t + τ ) s ( τ ) d τ = K R s ( t − T ) y ( T ) = K ∫ 0 T S 2 ( τ ) d τ
在滿足上面要求的情況下，對於一個碼元，我們在抽樣時刻 T 時抽樣有：y ( t ) = ∫ 0 t [ s ( τ ) + n w ( τ ) ] s ( τ ) d τ = ∫ 0 t s 2 ( τ ) d τ + ∫ 0 t n w ( τ ) s ( τ ) d τ y ( T ) = ∫ 0 T s 2 ( τ ) d τ + ∫ 0 T n w ( τ ) s ( τ ) d τ = E s + Z
\begin{aligned} y(t) &=\int_{0}^{t}\left[s(\tau)+n_{w}(\tau)\right] s(\tau) d \tau \\ &=\int_{0}^{t} s^{2}(\tau) d \tau+\int_{0}^{t} n_{w}(\tau) s(\tau) d \tau \\ y(T) &=\int_{0}^{T} s^{2}(\tau) d \tau+\int_{0}^{T} n_{w}(\tau) s(\tau) d \tau = E_{s}+Z \end{aligned}
y ( t ) y ( T ) = ∫ 0 t [ s ( τ ) + n w ( τ ) ] s ( τ ) d τ = ∫ 0 t s 2 ( τ ) d τ + ∫ 0 t n w ( τ ) s ( τ ) d τ = ∫ 0 T s 2 ( τ ) d τ + ∫ 0 T n w ( τ ) s ( τ ) d τ = E s + Z
發送信號波形沒有限制在一個符號發送間隔的時候，匹配濾波器不能等效成相關器。
數字調製和模擬調製在本質上是相同地，都是利用基帶信號對載波波形的某些參量進行控制，使載波的這些參量隨基帶信號變化。
數字調製系統：正弦波作爲載波，載波參量隨基帶信號幅度、頻率和相位變化 ——調幅（ASK）、調頻（FSK）和調相（PSK、DPSK）。
數字信號於模擬信號都有在調製上類似的性質，比如模擬信號的頻譜從基帶搬移至頻帶、數字信號的功率譜從基帶搬移至頻帶。
