北郵通信原理知識點小結-1

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第一章緒論

1. 數字信號和模擬信號的比較

數字通信比模擬通信有着更強的抗干擾能力，可以消除噪聲積累，便於集成化、加密性能好，但是代價是什麼呢？

數字信號需要更高的帶寬，頻帶利用率不高、對於同步信號要求高。

2. 離散消息的信息量

$H=-\sum_{i=1}^{M} p\left(x_{i}\right) \log _{2} p\left(x_{i}\right) bit/符號$

上述公式中H代表每個符號的平均信號量。

當消息集的各個元素（符號）在消息序列中等概獨立出現時，其符號熵最大，等於：
$H=-\sum_{i=1}^{M} \frac{1}{M} \log _{2} \frac{1}{M}=\log _{2} M bit/符號$
當二元消息集的元素在消息中等概率獨立出現時，其符號熵最大，等於： 1 bit/符號。

3. 通信系統的主要性能指標

模擬通信系統:

有效性通常用單位帶寬內傳送的電話路數或電視路數表示，而可靠性是用接受端的輸出信噪比來度量。

數字通信系統：

數字通信系統的有效性的主要性能指標是傳輸速率、頻帶利用率。可靠性主要是差錯率。

1.傳輸速率：

1）碼元傳輸速率（R_g）：碼元傳輸速率簡稱傳碼率，也稱碼元速率或符號速率。它被定義爲單位時間（s^-1）內傳輸碼元的數目，單位爲波特，記爲 Baud 或 B。碼元速率與所傳的碼元進制無關，即碼元可以是多進制的也可以是二進制的。通常一個 M 進制的碼元可以用 log2M 個二進制碼元表示。碼元速率又叫做調製速率。它表示信號調製過程中，1 秒中內調製信號波形的變換次數。如果一個單位調製信號波形的時間長度爲 T 秒，則調製速率爲
$R_{B}=\frac{1}{T} B$
2）信息傳輸速率（R_b）

信息傳輸速率簡稱傳信率，又稱信息速率。它被定義爲單位時間（s^-1）內傳遞的信息量（bit 數），單位是比特/秒，也記爲 bit/s 或 bps。 信息傳輸速率=碼元傳輸速率*符號平均信息量

2.頻帶利用率:

頻帶利用率可以有兩種表示方法，一種是單位帶寬中的傳碼率，即：
$\eta=\frac{R B}{\Delta f} \mathrm{B} / \mathrm{Hz}$
或單位帶寬內的傳信率，即：
$\beta=\frac{R b}{\Delta f} \mathrm{bit} / \mathrm{s}, \quad \mathrm{Hz}$
其中：Δf 爲系統帶寬。嚴格講，第二種表示方法更爲確切地反映了系統的頻帶利用率。

3.可靠性指標:

數字通信系統的可靠性指標是差錯率，常用誤碼率和誤信率表示。誤碼率（也稱誤符號率）爲接收碼元錯誤的概率，可表示爲:
$P_{e}=\frac{錯誤碼元數}{傳輸總碼數}$
誤信率（也稱誤比特率）是信息比特錯誤的概率，可表示爲：
$P_{e}=\frac{錯誤比特數}{傳輸總比特數}$
在多進制中，誤判錯一個碼元，對應着錯誤1到log₂M個比特，所以總是有誤信率（誤比特率）小等於誤碼率。

第二章隨機過程

1. 隨機過程的基本概念

隨機過程是隨時間變化的隨機變量，它的實現（樣本函數）是時間函數。無窮多個樣本函數（實現）的集合構成一個隨機過程。我們用大寫字母 X（t）,Y（t）,Z（t）,等表示隨機過程；用小寫字母 x(t),y(t),z(t)等表示對應的隨機過程的實現（樣本函數）。

在確定的時刻 t1，隨機過程 X(t1),是一個隨機變量在時刻 t1,t2,X(t1),X(t2)構成一個二維的隨機向量；在時刻 t1,t2,t3,…,tn,X(t1),X(t2),X(t3),…,X(tn)，構成一個 n 維的隨機向量。

2. 分佈函數和概率密度

一維概率密度：

這個和高數上的定義實際上一樣的，概率密度由以爲分佈函數求導而得到，一維分佈函數：
$F_{1}\left(x_{1}, t_{1}\right)=p\left[X\left(t_{1}\right) \leq x_{1}\right]$
上述公式對隨機變量x求導，得到：
$\frac{\partial F_{1}\left(x_{1}, t_{1}\right)}{\partial x_{1}}=f_{1}\left(x_{1}, t_{1}\right)$
n維概率密度：

顯然，隨機過程的一維分佈函數和一維概率密度僅僅描述隨機過程在各個孤立時刻的統計特性，而沒有反映隨機過程在各個時刻取值之間的內在聯繫，通常還需要在足夠多的時刻上考慮隨機過程的多維分佈函數。X(t)的 n 維分佈函數被定義爲：
$\begin{array}{l}{F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; t_{1}, t_{2} \ldots, t_{n}\right)} \\ {=P\left[X\left(t_{1}\right) \leq x_{1}, X\left(t_{2}\right) \leq x_{2}, \ldots, X\left(t_{n}\right) \leq x_{n}\right]}\end{array}$
假設求導成立，那麼n維概率密度則是如下：
$\frac{\partial^{\prime \prime} F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; t_{1}, t_{2} \ldots, t_{n}\right)}{\partial x_{1} \partial x_{2} \ldots \partial x_{n}}=f_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; t_{1}, t_{2} \ldots, t_{n}\right)$
顯然，n 越大，對隨機過程統計特性的描述就越充分。

3. 隨機過程的數字特徵

在實際工作中，有時不需要了解隨機過程的分佈函數和概率密度，只需知道隨機過程的某些數字特徵，如均值、方差及相關函數等即可滿足需要。

（1）均值（數學期望或統計平均）：
$E[X(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{1}(x, t) d x$
並記爲 E[X（t）]=a(t)。均值表示隨機過程的擺動中心。

（2）方差：
$\begin{array}{l}{D[X(t)]=E\left\{[X(t)-a(t)]^{2}\right\}=E[X(t)]^{2}-[a(t)]^{2}} \\ {=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_{1}(x, t) d x-[a(t)]^{2}}\end{array}$
D[X(t)]常記爲σ²(t) ，方差等於均方值與數學期望平方之差。它表示隨機過程在某時刻對於其均值的偏離程度。

均值和方差是刻畫隨機過程在各個孤立時刻統計特性的重要數字特徵，爲了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態之間的聯繫，還需利用二維概率密度引入新的數字特徵。

（3）相關函數：

自協方差函數：

可以認爲自協方差是某個信號與其自身經過一定時間平移之後的相似性，自協方差σ就表示了在那個時延的相關性。
$B\left(t_{1}, t_{2}\right)=E\left\{\left[X\left(t_{1}\right)-a\left(t_{1}\right)\right]\left[X\left(t_{2}\right)-a\left(t_{2}\right)\right]\right\}$
自相關函數：

是一個信號於其自身在不同時間點的互相關。非正式地來說，它就是兩次觀察之間的相似度對它們之間的時間差函數。如果要寫爲 τ =t1-t2，那麼就可以使用一個參數來表示自相關函數。這裏的E()都是指期望，是可以使用一個積分算式來表示的。

$R\left(t_{1}, t_{2}\right)=E\left[X\left(t_{1}\right) X\left(t_{2}\right)\right]$
互相關函數：
$R_{X Y}\left(t_{1}, t_{2}\right)=E\left[X\left(t_{1}\right) Y\left(t_{2}\right)\right]$

4. 平穩隨機過程

狹義平穩隨機過程：

狹義平穩隨機過程，又稱嚴平穩妥過程。其 n 維分佈函數和 n 維概率密度與時間起點無關。平隱隨機過程的統計特性將不隨時間的推移而不同。例如，其一維概率密度與時間無關：
$f_{1}(x, t)=f_{1}(x)$
而二維概率密度函數只與時間間隔有關：
$f_{2}\left(x_{1}, x_{2} ; t_{1}, t_{2}\right)=f_{2}\left(x_{1}, x_{2} ; \tau\right)$
廣義平穩隨機過程：

廣義平衡隨機過程，又稱寬平穩隨機過程。其定義爲：若隨機過程的數學期望和方差與時間無關，而相關函數僅與時間間隔τ有關，即
$\begin{aligned} a(t) &=a \\ \sigma^{2}(t) &=\sigma^{2} \\ R\left(t_{1}, t_{1}+\tau\right) &=R(\tau) \end{aligned}$
在通信系統中所遇到的信號及噪聲的大多數均可視爲廣義平穩隨機過程。

廣義平穩隨機過程的性質：

1.各態歷經性（遍歷性）

設 x（t）是平穩隨機過程 X（t）的任意一個實現（樣函數），若 X（t）的數字特徵（統計平均）可由 X（t）的時間平均代替，即：
$\begin{array}{l}{a=\bar{a}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) d t} \\ {\left.\sigma^{2}=\bar{\sigma}^{2}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)-\bar{a}\right]^{2} d t} \\ {R(\tau)=\overline{R(\tau)}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) x(t+\tau) d t}\end{array}$
則稱平穩過程 X(t)具有各態歷經性，簡稱遍歷性。

注意，只有平穩隨機過程才具有遍歷性，在能信系統中所遇到的隨機信號和器聲，一般均能滿足遍歷條件。

2.自相關函數的性質

設 X(t)爲平穩隨機過程，則其自相關函數具有如下性質：

平均功率：
$\mathrm{R}(0)=\mathrm{E}\left[\mathrm{X}^{2}(\mathrm{t})\right]$
直流功率：
$\mathrm{R}(\infty)=\mathrm{E}^{2}[\mathrm{X}(\mathrm{t})]$
交流功率（方差）：
$\mathrm{R}(0)-\mathrm{R}(\infty)=\sigma^{2}$
R(τ)是偶函數。

R(τ)的上界爲R(0)：
$|\mathrm{R}(\tau)| \leqslant \mathrm{R}(0)$

5. 自相關函數與功率譜密度的傅里葉關係

平穩隨機過程的功率譜密度表示其單位帶寬中平均功率在不同頻率上的分佈情況。

平穩隨機過程的功率譜密度 P_x(ω)與其自相關函數 R_x(τ) 是一對傅立葉變換，即
$\begin{array}{l}{p_{x}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} R_{X}(\tau) e^{-j \omega \tau} d \tau} \\ {R_{x}(\tau)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} P_{X}(\omega) d \omega}\end{array}$
當τ等於0時有：
$R_{X}(0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} P_{X}(\omega) d \omega$
又因爲R_x(0)爲平均功率，所以 P_X(ω)的物理含義：即單位帶寬中的平均功率。

自相關函數與功率譜密度的傅里葉關係是聯繫頻域和時域兩種分析方法的基本關係式。

6. 白噪聲

1．定義：

白噪聲是帶寬非常大的噪聲的數學模型。其定義爲：均值爲 0 的平穩隨機過程，其功率譜密度在整個頻段爲一常數。通常用 n(t)表示白噪聲，其功率譜密度爲（平坦的直線）：
$P_{n}(\omega)=\frac{n_{0}}{2} \quad-\infty<\omega<\infty$
由傅里葉關係可得，它的自相關函數爲：
$R_{n}(\tau)=\frac{n_{o}}{2} \delta(\tau)$
2．白噪聲的某些特性：

白噪聲的期望爲0。

白噪聲的自相關函數爲狄拉克δ函數：意味着：噪聲的時域信號中任意兩個不同時刻是不相關。
$r_{n n}=\mathbb{E}\{n(t) n(t-\tau)\}=\delta(\tau)$
方差爲n₀/2

7. 高斯隨機過程

1．定義

任意 n 維分佈都服從正態分佈的隨機過程稱爲高斯過程。

2．重要性質

（1）若高斯過程是廣義平衡的，則也是狹義平穩的；

（2）若高斯過程中的隨機變量之間互不相關，則它們也是統計獨立的；

（3）若干個高斯過程之和的過程仍是高斯型；

（4）高斯過程經過線性過線變換（或線性系統）後的過程仍是高斯型。

3．一維概率密度和分佈函數

1）概率密度函數

高斯過程在給定任一時刻上，是一高期隨機變量，其概率密度函數可表示爲：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left[-\frac{(x-a)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]$
式中，a 及σ²爲兩個常量。當 a=0,σ=1 時，稱 f(x) 爲標準正態概率密度函數。

2）正態分佈函數

正態分佈函數是正態概率密度函數的積分，即:
$P(X \leq x)=F(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \operatorname{exp}\left[\frac{(z-a)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] d z$
標準正態分佈函數如下：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} \operatorname{exp}\left[-\frac{z^{2}}{2}\right] d z$
這個積分只能利用數值法計算，一般數學手冊中有它的數值表，可以查閱。

正態分佈函數可以由概率積分函數表示：
$P(X \leq x)=F(x)=\phi\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)$
可以證明:
$\begin{array}{l}{\phi(x)+\phi(-x)=1} \\ {\frac{1}{2} \operatorname{erfc}(x)=1-\phi(\sqrt{2 x})=\phi(-\sqrt{2 x})} \\ {其中： \pi: \operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-z^{2}} d z}\end{array}$
稱作互補誤差函數；
$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-z^{2}} d z$
稱作誤差函數。

第三章確定信號分析

1.引言

通信系統中利用信號表示信息和傳關信息。一般信號是時間的函數。確定信號是指可以用確定的時間函數表示的信號。實際載荷信息的各種信號是許多信號的集合體，並具有一定的統計規律性.這種信號稱作隨機信號，將在第三章研究。本章研究的確定信號可以是隨機信號的樣函數（實現）或是載波信號的數學模型。

2.週期信號

若 f (t) = f (t + T) 對於任何 t 值成立，其中 T 爲任一常數，則稱 f(t)爲週期信號， T 爲其週期。

性質：

1）若 T 是 f(t)的週期，則 nT 也是 f(t)的週期.其中 n 爲任意整.即：f (t) = f (t + nT )

2）s(t) = f (at)的週期等於T/a

3）同週期信號的和、差、積也是週期信號，且具有同一週期。

3. 能量信號與功率信號以及信號的能量

電流設爲：
$i(t)=f(t)$
假設在單位歐姆電阻上工作，那麼能量爲：
$E_{f}=\int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t) d t$
前提：E_f< ∞，一般限時信號的能量有限，爲能量信號，但是有些非限時信號也有能量有限，例如：e的-t²在時域積分爲 √π/2，其爲著名的高斯積分。而週期信號能量總是無窮大，所以絕對不可能是能量信號。

功率信號：
$0<\operatorname{limit} \frac{1}{T_{1}} \int_{\frac{-T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}} f^{2}(t) d t<∞$
週期信號爲功率信號，非週期不限時信號也可能是功率信號。

4. 週期信號的三角付立葉級數（諧波分析）

令 f(t)爲週期信號，週期爲 T,且滿足狄裏赫利條件*（一般實際信號均滿足），則 f(t)可展開爲以下級數：
$f(t)=a_{0}+\sum_{n=t}^{\infty} a_{n} \cos n \omega_{0}^{t}+b_{n} \sin n \omega_{0}^{t}$

$\mathrm{a}_{\mathrm{o}}=\frac{1}{\mathrm{T}} \int_{c}^{c+T} f(t) d t$

$\begin{aligned} a n &=\frac{2}{T} \int_{c}^{c+T} f(t) \cos n \omega_{0} t d t \\ b_{n} &=\frac{2}{T} \int_{C}^{c+T} f(t) \sin n \omega_{0} t d t \end{aligned}$

c 爲常數，其值可任選。通常選 c= -T/2。

狄裏赫利條件爲：在一個週期內 f(t)只有有限個一類不連續點，且可將 T 分爲有限個區間，在每一個區間內 f(t)爲單調斷數。
$a_{n} \cos n \omega_{0} t+b_{n} \sin n \omega_{0} t=c_{n} \cos \left(n \omega_{0} t+\phi_{n}\right) ; c_{0}=a_{0}, \phi_{0}=0$
則有：
$f(t)=\sum_{0}^{\infty} c_{n} \cos \left(n \omega_{0} t+\phi_{n}\right)$
由上述公式可知：週期信號展開爲許多不同幅度、頻率和相位的正弦信號之和。這些信號稱作 f(t) 的諧波。其中：c₀爲直流分量，c₁Cos(ω₀t+φ_ω)稱爲 f(t)的一次諧波（又稱基波），c_nCos(nω₀t+φ_ω)稱作 f(t)的 n 次諧波。

幅頻特性：它表示不同諧波幅度大小與頻率的關係。 C_n 與ω的關係稱作 f(t) 的幅度—頻率特性。

相頻特性： Φ_n 與ω的關係稱作 f(t) 的相位-頻率特性。

不難看出 c_n Φ_n 僅在ω=nω₀ 處有值（n=1，2，3，…）因此，C_nφ_n與ω的關係是離散的，因此稱作離散頻譜。（也稱線頻譜）。譜線間隔爲ω₀ =2π/T，T 愈大，ω₀愈小，即譜線愈密。

5. 週期信號的指數付立葉級數

利用歐拉公式：
$\cos x=\frac{1}{2}\left(e^{j^{x}}+e^{-j x}\right)$
可以將三角付立葉級數化爲指數信立葉級數。後者分析和計算比較方便，因此應用廣泛。
$c_{n} \cos \left(n \omega_{0} t+\phi_{n}\right)=\frac{c_{n}}{2} e^{j \phi n} e^{j n \omega d}+\frac{c^{n}}{2} e^{-j n} e^{-j n \omega \delta}$
令：
$F_{n}=\frac{c_{n}}{2} e^{j \omega_{n}}, \quad F=\frac{c_{n}}{2} e^{-j \omega_{n}} \quad \mathrm{且}: \phi_{-n}=\phi_{n}$
f（t）可表示爲：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \alpha d} \quad(-\infty<t<\infty)$
其中：
$F_{n}=\frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n a d d} d t$
一般情況，Fn，F-n是複數，若 f(t)是實函數，則 Fn 和 F-n 一對共軛複數，即：
$\mathrm { F } _ { \mathrm { n } } = \mathrm { F } ^ { * } _ { - \mathrm { n } }$
此時有：
$| F _ { n } / = / F _ { - n } / = \frac { c _ { n } } { 2 } ; \phi _ { - n } = \phi _ { n }$
不難看出，幅度頻譜是ω的偶函數，相位頻譜是ω的奇函數，它們僅在ω=nω₀(n=0,±1， ±2，±3…整數)即頻率取離散值時有值，因此稱其爲離散頻譜，又稱爲線頻譜。又因ω取正負值，故又稱雙邊頻譜。許多情況利用信號的頻譜進行分析比較直觀方便。

6. 信號的付立葉變換

週期信號的頻譜分析可以推廣到非週期信號。這裏就不具體闡述了。
$F ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) e ^ { - j \omega t }dt$

$f ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } F ( \omega ) e ^ { j \omega t } d \omega$

第一個式子爲 f(t)的付立葉變換，又稱作頻譜密度，第二個式子爲付立葉反變換。

下圖轉載於： https://blog.csdn.net/Einstellung/article/details/77579386

$H=-\sum_{i=1}^{M} p\left(x_{i}\right) \log _{2} p\left(x_{i}\right)$

7. 單位衝擊函數的性質

通常單位衝擊函數以δ（t）表示，其定義如下：
$\delta ( t ) \left\{ \begin{array} { l } { \infty , t = 0 } \\ { 0 , t \neq 0 } \end{array} \right.$
且有：
$\int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta ( t ) d t = 1$
取樣性質：
$\int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ( t ) \delta \left( t - t _ { 0 } \right) d t = x \left( t _ { 0 } \right)$
尺度變換：
$\delta ^ { ( n ) } ( a t ) = \frac { 1 } { | a | } \cdot \frac { 1 } { a ^ { n } } \delta ^ { ( n ) } ( t )$
傅里葉變換：
$F \left[ \delta \left( t - t _ { 0 } \right) \right] = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta \left( t - t _ { 0 } \right) e ^ { - j \omega t } d t = e ^ { - j \omega t _ { 0 } }$

$F ^ { - 1 } [ \delta ( \omega ) ] = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta ( \omega ) e ^ { j \omega t } d \omega = \frac { 1 } { 2 \pi } \Leftrightarrow \delta ( \omega )$

8. 週期信號的付立葉變換

令 f(t)爲週期信號，週期爲 T，且滿足狄列赫利條件，則可展開爲付立葉級數：
$\begin{array} { l } { f ( t ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } F _ { n } e ^ { j n \omega _ { 0 } t } } \\ { F n = \frac { 1 } { T } \int _ { \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } f ( t ) e ^ { - j n \omega _ { 0 } t } d t } \end{array}$
其中又有： ω₀=2π/T

所以我們對上中的每一個離散的n取值做傅里葉變換，得到：
$F [ f ( t ) ] = F \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } F _ { n } e ^ { j n \omega _ { 0 } t } \right] = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } F _ { n } F \left[ e ^ { j n \omega _ { 0 } t } \right] = 2 \pi \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } F _ { n } \delta \left( \omega - n \omega _ { 0 } \right)$
即週期信號的付立葉變換（頻譜譜密度）爲一衝激序列，間隔爲 ω₀=2π/T,強度決定於相應的付立葉級數的係數F_n.

9. 能量譜密度與功率譜密度以及信號帶寬

1.帕色瓦爾定理

f(t)爲實能量信號，則有：
$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ^ { 2 } ( t ) d t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | F ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega$
2.功率譜密度

f(t)首先要爲功率信號，實際上通常是週期信號：
$P _ { f } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } P ( \omega ) d \omega = \int _ { - \infty } ^ { \infty } P ( 2 \pi f ) d f$
雖然式子是這麼寫的，但是一般功率譜都是由自相關函數進行傅里葉變換得到的。

3. 信號帶寬

信號帶寬是指信號的能量或功率的主要部分集中的頻率範圍。若信號的主要能量或功率集中在零頻率附近則稱這種信號爲基帶信號。若信號的能量或功率集中在某一載波頻率附近，則稱此類信號爲頻帶信號。

介紹一下一般的情況：若 E(ω)或 P（ω）在 0 頻率處最大，則可以將 E（ω）或 P（ω）值下降到 3db（半功率點）的頻率定爲信號帶寬。第一個爲能量信號，第二個爲功率信號。
$B = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } E ( 2 \pi f ) d f } { 2 E ( 0 ) }$

$B = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } P ( 2 \pi f ) d f } { 2 P ( 0 ) }$

10.確定信號的相關函數

1.互相關函數的定義

令 f₁(t)，f₂(t)爲能量信號，一般情況可以是時間的複函數。互相關函數爲：
$R _ { 12 } ( \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { 1 } ( t ) f _ { 2 } ( t + \tau ) d t$
令 f₁(t)，f₂(t)爲功率信號，互相關函數爲：
$\begin{array} { c } { R _ { 12 } ( \tau ) = \ limit \frac { 1 } { T } \int _ { - \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } f _ { 1 } ( t ) f _ { 2 } ( t + \tau ) d t } \\ { T \rightarrow \infty } \end{array}$
功率信號： f₁(t)和 f₂(t)爲週期信號（週期爲 T），則有：少了一個T趨向於無窮大的取極限。
$R ^ { 12 } ( \tau ) = \frac { 1 } { T } \int _ { \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } f _ { 1 } ( t ) f _ { 2 } ( t + \tau ) d t$
2.自相關函數的定義

能量信號的自相關函數：
$R _ { f } ( \tau ) = f ( \tau ) * f ^ { * } ( - \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t + \tau ) f ^ { * } ( t ) d t = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) f ^ { * } ( t - \tau ) d t$
上述 τ 的正負是不能夠隨意改變的。

週期信號的自相關函數：
$R ^ { 12 } ( \tau ) = \frac { 1 } { T } \int _ { \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } f ( t ) f ^* ( t - \tau ) d t$
相關函數的性質

1）R₁₂(τ) = R₂₁(-τ) ,互相換函數是偶函數

2）|R₁₂(τ)|≤1 ，互相關函數最大值爲1

3）R(τ）= R *(-τ) ，自相關函數是負共軛對稱，不是偶函數

4）|R(τ)|≤R(0) ，在時間差爲0時，互相關的絕對值一定是最大的

5）能量信號的能量 E=R(0)，功率信號的平均功率 P=R(0)

6）週期信號的自相關函數是週期函數，且週期與信號週期相等

3.相關函數與能量（功率）譜密度的關係

1）能量信號的自相關函數與其能量譜密度互爲付立葉變換，即：
$R ( \tau ) \Leftrightarrow E ( \omega ) = | F ( \omega ) | ^ { 2 }$
2）功率信號的自相關函數與其功率譜密度互爲付立葉變換
$R ( \tau ) \Leftrightarrow P ( \omega )$
4. 互能量譜密度和互功率譜密度

令 f₁(t)和 f₂(t)爲能量信號，且它們的互相關函數爲 R₁₂(τ)，稱 R₁₂(τ)的付立葉變換爲 f₁(t)和 f₂(t)的互能量譜密度，以 E₁₂(ω)表示之。
$R_{12} ( \tau ) \Leftrightarrow E_{12} ( \omega )$

$R_{12} ( \tau ) \Leftrightarrow P_{12} ( \omega )$

11. 卷積積分

1.卷積的定義
$f _ { 1 } ( t ) ^ { * } f _ { 2 } ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { 1 } ( \alpha ) f _ { 2 } ( t - \alpha ) d \alpha$
式中α爲積分變量，由於定積分值與積分變量符號無關，所以式（2.11.1）中的積分變量可用任何符號表示，例如：τ，β，λ等。

2.卷積的性質

卷積的三大基礎性質：

1.交換律2.分配律3.結合律這些基礎的數學計算性質都是滿足的。

卷積的微分性質：
$\frac { d } { d t } \left[ f _ { 1 } ( t ) * f _ { 2 } ( t ) \right] = f _ { 1 } ( t ) * \frac { d } { d t } f _ { 2 } ( t ) = \frac { d } { d t } f _ { 1 } ( t ) * f _ { 2 } ( t )$
卷積的積分性質：
$\int _ { - \infty } ^ { t } \left[ f _ { 1 } ( \tau ) ^ { * } f _ { 2 } ( \tau ) \right] d \tau = f _ { 1 } ( t ) * \int _ { - \infty } ^ { \tau } f _ { 2 } ( \tau ) d \tau = \int _ { - \infty } ^ { t } f _ { 1 } ( \tau ) d \tau ^ { * } f _ { 2 } ( t )$
卷積的時移特性：
$\begin{array} { l } { f _ { 1 } ( t ) * f _ { 2 } ( t ) = f ( t ) } \\ { f _ { 1 } ( t ) ^ { * } f _ { 2 } \left( t - t _ { 0 } \right) = f \left( t - t _ { 0 } \right) } \\ { f _ { 1 } \left( t - t _ { 1 } \right) * f _ { 2 } \left( t - t _ { 1 } \right) = f \left( t - t _ { 1 } - t _ { 2 } \right) } \end{array}$
與特殊函數做卷積：
$\begin{array} { l } { f ( t ) ^ { * } \delta ( t ) = f ( t ) } \\ { f ( t ) * \delta \left( t - t _ { 0 } \right) = f \left( t - t _ { 0 } \right) } \\ { f ( t ) * \delta ^ { \prime } ( t ) = f ^ { \prime } ( t ) } \\ { f ( t ) * \delta ^ { ( k ) } ( t ) = f ^ { ( k ) } ( t ) } \\ { f ( t ) * \delta ^ { ( k ) } \left( t - t _ { 0 } \right) = f ^ { ( k ) } \left( t - t _ { 0 } \right) } \end{array}$

$\begin{array} { l } { f ( t ) * u ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { t } f ( \tau ) d \tau } \\ { f [ n ] * \delta [ n ] = f [ n ] } \\ { f [ n ] * \delta [ n - m ] = f [ n - m ] } \\ { f [ n ] * u [ n ] = \sum _ { n = - \infty } ^ { n } f [ m ] } \end{array}$

3.卷積定理

1)時域卷積定理
$f _ { 1 } ( t ) \Leftrightarrow F _ { 1 } ( \omega ) f _ { 2 } ( t ) \Leftrightarrow F _ { 2 } ( \omega )$
2) 頻域卷積定理
$f _ { 1 } ( t ) f _ { 2 } ( t ) \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ f _ { 2 } ( \omega ) ^ { * } f _ { 1 } ( \omega ) \right]$

12. 確定信號通過線性系統（濾波）

通信系統由許多部份組成，例如，天線，放大器，信道和調制解調器等。其中一些部份可看作是線性系統。例如，信道，放大器，濾波器等。本節研究確定信號通過線性系統。並限於研究具有一個輸入端和一個輸出端的系統。

一個輸入信號 x(t)，對應有一個確定的輸出信號 y(t).將 x(t)變換爲 y(t)的運算，數學上稱爲算子，以 L 表示。則可表示爲： L就是Linear的縮寫，即表示線性。

y(t)=L[x(t)]

1.線性算子與線性系統

令：y_i(t)=L[x_i(t)] i=1,2,3……

則稱此算子爲線性算子，相應的系統稱爲線性系統，其有被稱爲疊加原理。其表述爲：系統輸入線性和的響應等於響應的線性和。

對於恆參線性系統而言，有：即輸出是輸入信號和系統函數的卷積。
$y ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ( \tau ) h ( t - \tau ) d \tau$
2.信號不失真的條件

信號通過線性系統會引起變化。從傳送信息的角度考慮，重要的是信號波形的變化。我們認爲信號波形大小和時延的變化不影響信號所帶的信息，因此我們定義通過線性系統信號不失真的條件爲:

y(t)=kx(t-τ) , 其中：k, τ均爲常數，可取任意值(k不會零就好)。

系統的衝激響應：

h(t)= kδ(t-τ)
$\begin{array} { l } { H ( \omega ) \Leftrightarrow h ( t ) , H ( \omega ) \Leftrightarrow k \delta ( t - \tau ) } \\ { H ( \omega ) = \int k \delta ( t - \tau ) e ^ { - j \omega t } d t = k e ^ { - j \omega \tau } \quad ( - \infty < \omega < \infty ) } \end{array}$
滿足信號不失真條件的系統稱作理想系統。由上式可知：理想系統的幅-頻特性爲一常數 k 即：

實際系統的特性並不理相，一般只是在一定頻率範圍內滿足，如圖：

3.系統的帶寬

通常系統的帶寬定義爲系統的幅-頻特性|H（ω）|保持在其頻帶中心處取值的3 分貝內或半功率點的頻率區間，常稱爲 3 分貝帶寬：

由於系統特性 H(ω) 不理想引起的信號失真稱爲線性失真。線性失真包括頻率失真和相位失真。由於系統的幅-頻特性不理想引起的信號失真稱爲頻率失真。由於系統的相-頻特性不理想引起的信號失真稱爲相位失真。若信號的帶寬位於系統帶寬以內，則信號通過系統後的失真可以忽略。

4. 低通濾波器和帶通濾波器

若濾波器的通頻帶位於零頻附近至某一頻率，則稱其爲低通濾波器，其特性如圖(2.12.5) 所示。若濾波器的通頻帶位於某一頻率附近，且其帶寬遠小於此頻率，則稱其爲帶通濾波器，其特性如圖（2.12.6）所示。

理想低通濾波器的傳遞函數可表示爲：
$H ( \omega ) = \operatorname { rect } \left( \frac { \omega } { 2 W } \right) e ^ { - j \omega x }$
衝激響應爲：
$h ( t ) = \frac { W } { \pi } S a [ W ( t - \tau ) ]$

13.希爾波特變換

1.希爾伯特變換的定義

令 f(t)爲實函數（虛函數沒有希爾伯特變換），則下面式子被稱爲希爾伯特變換：
$f ( \hat { t } ) = H [ f ( t ) ] = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { f ( \tau ) } { t - \tau } d \tau$
希爾伯特反變換：
$H ^ { - 1 } [ g ( t ) ] = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { g \tau } { t - \tau } d \tau$
顯然希爾伯特變換可記爲卷積形式：
$f ^ { \widehat { \prime } } ( t ) = f ( t ) * \frac { 1 } { \pi t }$
2.頻域的變換
$H ( \omega ) = - j \operatorname { Sgn } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - j } & { \omega > 0 } \\ { j } & { \omega < 0 } \end{array} \right.$
可看出希爾伯特變換等效一個理想相移器，在 ω>0 域相移-π/2，在 ω<0 域相移π/2；

3. 希爾伯特變換的性質

1.希爾伯特正變換後接反變換，相當於沒有做任何處理
$H _ { 1 } ( \omega ) H _ { 2 } ( \omega ) = [ - j \operatorname { Sgn } ( \omega ) ] [ j \operatorname { Sgn } ( \omega ) ] = 1$
2.兩次希爾伯特變換相當於移相180°，即反相
$H [ \hat { f } ( t ) ] = \hat { f } ( t ) = - f ( t )$
3.正/反希爾伯特濾波器的能量相同
$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ^ { 2 } ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { f } ^ { 2 } ( t ) \mathrm { d } t$
4.若 f (t)爲偶函數,則 fˆ(t) 爲奇函數

5.f (t)與 f^(t) 相互正交
$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( t ) \hat { f } ( t ) \mathrm { d } t = 0$

14.解析信號

1.定義：
$Z ( t ) = f ( t ) + j \hat { f } ( t )$
2.解析信號的性質

f (t)=Re[Z(t)]

2)本質上這條和1中的方法沒有區別，因爲對於一個複數求實部本質上就是這種求法
$f ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ Z ( t ) + Z ^ { * } ( t ) \right]$
3)解析信號的頻域是原信號頻域的 ω>0 部分乘以2:
$Z ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 2 F ( \omega ) } & { \omega > 0 } \\ { 0 } & { \omega < 0 } \end{array} \right.$
4）解析信號的反傅里葉變換
$Z ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 F ( \omega ) e ^ { j w t } \mathrm { d } \omega = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } F ( \omega ) e ^ { j w t } \mathrm { d } \omega$
5）解析信號共軛的傅里葉變換
$F \left[ Z ^ { * } ( t ) \right] = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 } & { \omega > 0 } \\ { 2 F ( \omega ) } & { \omega < 0 } \end{array} \right.$
6）令 Z₁(t) 和 Z₂(t) 爲解析信號，則有:
$\begin{array} { l } { Z _ { 1 } ( t ) * Z _ { 2 } ( t ) = 0 } \\ { Z _ { 1 } ^ { * } ( t ) * Z _ { 2 } ( t ) = 0 } \end{array}$
7) 解析信號的能量等於實信號能量的二倍

這因爲功率譜雖然只有一半，但是幅度爲兩倍，總的能量會爲2倍。另一方面，由於原信號和希爾伯特變換之後的信號能量是不變的，所以解析信號的能量等於實信號能量的二倍。

一般講，若覆信號的付立葉變換在ω<0 恆爲零,則此覆信號是解析信號。

3.已知實函數 f (t)求其解析信號的方法**

由時域求：
$Z ( t ) = f ( t ) + j \hat { f } ( t )$
由頻域求，反傅里葉變換：
$Z ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 2 F ( \omega ) } & { \omega > 0 } \\ { 0 } & { \omega < 0 } \end{array} \right.$

15.頻帶信號與通信系統

1. 頻帶信號的定義及表示法

頻帶信號又稱帶通信號。若信號的頻譜集中在某一頻率附近，如下圖所示，則稱此信號爲頻帶信號或稱帶通信號。

若w_c >>2w，則稱此頻帶信號爲窄帶信號。在無線通信系統中通常滿足窄帶條件。利用解析信號表示頻帶信號(特別是窄帶信號)很便於對頻帶信號的分析。

令 f (t)爲頻帶信號，
$f ( t ) \Leftrightarrow F ( \omega )$
其解析信號爲：
$Z ( t ) = f ( t ) + j \hat { f } ( t ) \Leftrightarrow Z ( \omega ) = 2 F ( \omega ) u ( \omega )$

復包絡：對應着解析信號在頻域中向左移動w_c。
$\widetilde { f } ( t ) = Z ( t ) e ^ { - j \omega _ { 0 } t }$

e^jwct被稱爲覆載波。

頻帶信號的復包絡是復基帶信號。

我們通過以下方式表示復包絡信號：
$\widetilde { f } ( t ) = f _ { c } ( t ) + j f _ { s } ( t )$
那麼就有：f(t)代表原時域信號。
$f(t)=f _ { c } ( t ) \cos \omega _ { c } t - f _ { s } ( t ) \sin \omega _ { c } t$
上式子中 cosω_ct 稱作 f (t)的載波;f_c(t)稱作同相分量;f_s(t)稱作正交分量。

復包絡還可以表示爲：
$\widetilde { f } ( t ) = a ( t ) e ^ { j \theta ( t ) }$
由復包絡和包絡的關係，以及包絡和原信號的關係可憎：
$f ( t ) = a ( t ) \cos \left[ \omega _ { c } t + \theta ( t ) \right]$
a(t) 稱作 f(t) 的包絡；θ(t)稱作 f(t)的相位; ω_c 稱作 f(t) 的載波角頻率。

復包絡的兩種表達式間有如下關係：
$\begin{array} { l } { f _ { c } ( t ) = a ( t ) \cos \theta ( t ) } \\ { f _ { s } ( t ) = a ( t ) \sin \theta ( t ) } \\ { a ( t ) = \sqrt { f ^ { 2 } c ( t ) + f ^ { 2 } s ( t ) } } \\ { \theta ( t ) = \operatorname { arctg } \frac { f _ { s } ( t ) } { f _ { c } ( t ) } } \end{array}$
復包絡包含了 f(t) 的除載波頻率以外的全部信息。

2. 帶通系統

我們總是希望將一個帶通系統通過對基帶系統分析的方式進行分析。

1)定義

若系統的通頻帶位於某一頻率附近，即其傳遞函數如圖(2.15.6)所示，則稱系統爲帶通系統.

若帶通系統的帶寬遠小於其中心頻率，即 2W<<ω₀ ，則稱系統爲窄帶系統。

2)帶通系統的單位衝激響應

已知系統的單位衝激響應與傳遞函數爲付立葉變換對，即 h(t) <=> H(ω) 顯然帶通系統的單位衝激響應滿足頻帶信號條件，因此它是頻帶信號。應用解析信號和復包絡可以得到帶通系統的等效低通特性，將基帶信號分析方法用於頻帶信號通過帶通系統的分析，可使分析大爲簡化。

我們設已知的帶通信號是h(t)，那麼其解析信號爲Z(t)，如下：
$Z ( t ) = h ( t ) + j \hat { h } ( t )$
那麼在將Z(ω)向左平移則能得到基帶信號。
$h _ { L } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } Z ( t ) e ^ { - j \omega _ { c } t } \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 } Z \left( \omega + \omega _ { 0 } \right) = H \left( \omega + \omega _ { 0 } \right) u \left( \omega + \omega _ { 0 } \right)$

H_L(ω) 稱作帶通系統的等效低通傳遞函數。帶通系統的等效低通傳遞函數是低通型的。

3)頻帶信號通過帶通系統分析

$\begin{array} { l } { \widetilde { y } ( t ) = \widetilde { x } ( t ) h _ { L } ( t ) } \\ { y ( t ) = \operatorname { Re } \left[ \hat { y } ( t ) e ^ { j \omega _ { 0 } t } \right] } \end{array}$
復包絡和解析信號之間又有如下關係：
$\widetilde { y } ( t ) = Z ( t ) e ^ { - j \omega _ { 0 } t }$

北郵通信原理知識點筆記小結-上半部分