Programming Challenges

习题1.6.3 10137 TheTrip

因为这道题的测试用例有错误，详见这里3楼的评论
浮点数的题目我一向没有好感

习题4.6.3 10037 Bridge

网上给出了很多贪心的解法，还有为数不多的动态规划解法，但是我没想明白

习题5.9.3 701 The Archeologists’ Dilemma

如果尝试枚举E的话那么很快程序就超时了
虽然我也感觉不应该暴力枚举求解，应该用对数，但是没想出来那个不等式是怎么来的（N * 10^K < 2^X < (N + 1) * 10^K）。

习题6.6.2 10213 How Many Pieces of Land ?

想了好久，还是去网上查了一下，可以直接根据平面欧拉公式（F = E - V + 2）来算，因此这道题中区域总数为1 + C(n, 2) + C(n, 4)
需要使用大数运算
我感觉面试题不会有这种东西吧？

习题6.6.4 10157 Expressions

根据书上关于Catalan数的提示，可以得到递推公式为：
S(n ,d) = sum(S(i, j) * S(n - 2 - i, d)(0 <= i <= n - 2, 0 <= j <= d - 2))
+ sum(S(i, d - 1) * S(n - 2 - i, j)(0 <= i <= n - 2, 0 <= j <= d))
根据第一个括号闭合的位置将表达式分成两部分，左边被括起来的表达式深度分成两部分来考虑：长度从0变化到n - 2，深度从0变化到d - 2，这样被括起来后最大深度为d - 1，所以右边未被括起来的部分深度必须为d，长度为n - 2 - i；长度从0变化到n - 2，深度为d - 1，这样被括起来后深度为d，所以右边深度的变化范围从0到d。这样每计算一项需要2重循环，计算所有的就需要4重循环
通过观察递推公式，可以将部分项合并，第一项的S(i, j)中j的范围是0 <= j <= d - 2，而第二项中正好有S(i, d - 1)，这样合并后就可以得到：
S(n, d) = sum(S(i, j) * S(n - 2 - i, d)(0 <= i <= n - 2, 0 <= j <= d - 1))
+ sum(S(i, d - 1) * S(n - 2 - i, j)(0 <= i <= n - 2, 0 <= j <= d - 1))。
因为j只出现在乘积项的一侧，而i出现在乘积项的两侧，所以可以对j进行优化，记T(i, d - 1) = sum(i, j)(0 <= j <= d - 1)，表示长度为i，深度不超过d - 1的表达式的个数，这样递推公式就又变成了：
S(n , d) = sum(T(i, d - 1) * S(n - 2 - i, d)(0 <= i <= n - 2))
+ sum(S(i, d - 1) * T(n - 2 - i, d - 1)(0 <= i <= n - 2))
然后根据刚才对T的定义，将S代换为T，可得：
S(n, d) = sum(T(i, d - 1) * (T(n - 2 - i, d) - T(n - 2 - i, d - 1)))(0 <= i <= n - 2)
+ sum((T(i, d - 1) - T(i, d - 2)) * T(n - 2 - i, d - 1))(0 <= i <= n - 2)
= sum(T(i, d - 1) * T(n - 2 - i, d) - T(i, d - 2) * T(n - 2 - i, d - 1))
第一项表示长度为i、深度不超过d - 1每一项用括号括起来后和长度为n - 2 - i、深度不超过d进行组合，最后可得长度为n，深度不超过d的表达式数量，就是刚刚定义的T(n, d)，后边一项正好为T(n, d - 1)。
废了一大圈劲，终于从朴素的想法推到正确的解题方法了。😦

习题6.6.5 10247 Complete Tree Labeling

开始的时候一直思考如何从二层的二叉堆递推三层的二叉堆，然后从二叉堆怎么递推三叉堆，但是发现一种固定编号的二层二叉堆，变成三层的过程中会破坏二层的编号，所以从具体的某一种编号方式应该是无法递推
看了一下网上的答案，如果不考虑二层的排列具体用了哪几个数字，只考虑用可以得到多少种二层的排列，那么在变成三层的时候，根一定是最小的1，然后从把剩下的数字平均分成k份，每一叉用一份，再用乘法原理进行计算

习题6.6.6 10254 The Priest Mathematician