leetcode-5281.使結果不超過閾值的最小除數

leetcode-5281.使結果不超過閾值的最小除數(Find the Smallest Divisor Given a Threshold)

題目

給你一個整數數組 nums 和一個正整數 threshold ，你需要選擇一個正整數作爲除數，然後將數組裏每個數都除以它，並對除法結果求和。

請你找出能夠使上述結果小於等於閾值 threshold 的除數中 最小 的那個。

每個數除以除數後都向上取整，比方說 7/3 = 3 ， 10/2 = 5 。

題目保證一定有解。

示例 1：

輸入：nums = [1,2,5,9], threshold = 6
輸出：5
解釋：如果除數爲 1 ，我們可以得到和爲 17 （1+2+5+9）。
如果除數爲 4 ，我們可以得到和爲 7 (1+1+2+3) 。如果除數爲 5 ，和爲 5 (1+1+1+2)。

示例 2：

輸入：nums = [2,3,5,7,11], threshold = 11
輸出：3

示例 3：

輸入：nums = [19], threshold = 5
輸出：4

提示：

1 <= nums.length <= 5 * 10^4
1 <= nums[i] <= 10^6
nums.length <= threshold <= 10^6

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-smallest-divisor-given-a-threshold
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思路

首先最容易想到的是暴力破解算法，枚舉除數k，從k=1開始枚舉，每次k++，對每個除數，計算$sum=\Sigma_iceil(nums[i] / k)$，第一個滿足sum<threshold的k即爲答案，不過數據量大，暴力算法會超時。

class Solution {
public:
    int smallestDivisor(vector<int>& nums, int threshold) {
        int n = 0;
        int sum = 0;
        do {
            n++;
            sum = 0;
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                sum += ceil(1.0 * nums[i] / n);
            }
        }
        while(sum > threshold);
        return n;
    }
};

設$f(k)=\Sigma_iceil(nums[i]/k),1<=k<=10^6,k\in N_+$，注意到$f(k)$是一個非嚴格單調遞減的離散函數（除數爲正整數），$f(k)$有序可以使用二分法快速搜索符合條件的除數。

下面代碼使用二分搜索算法查找，和二分查找具體某數略有不同，這裏滿足f(k) < threshold的k可能有多個，要找最小的那個k。下面代碼的註釋和圖幫助理解這個二分查找的實現細節。

二分查找不斷縮小待查找區間，當 l- r == 1時，出現以下三種情況，可以具體分析便於正確實現算法

class Solution {
public:
    int f(int k, vector<int>& nums) {//f(k)，非嚴格單調遞減
        int s = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            s += ceil(1.0 * nums[i] / k);
        }
        return s;
    }
    
    int smallestDivisor(vector<int>& nums, int threshold) {
        int l = 1, r = 1e6+10;
        int mid = 0;
        while (l < r) {
            mid = (l + r) / 2;
            //if (f(mid, nums) == threshold) return mid;//不能直接返回，可能有多個mid，使得f(mid, nums) == threshold
            if (f(mid, nums) > threshold) {
                l = mid + 1;//f(mid+1)<=threshold，[l,r]任然包含待搜尋答案
            }
            else {
                r = mid;//剛開始寫成r=mid-1，可能會跳過待搜索答案
            }
        }
        return l;
    }
};