Lie Groups for Beginners

作者：Frank Dellaert
February 7, 2016

1. Motivation: Rigid Motions in the Plane

我們從平面移動機器人的一個小例子開始，平面中的移動機器人蔘數化爲$(x, y, \theta)$。當我們給定一個微小的前進速度$v_x$,我們知道位置的變化
$\dot x = v_x$
是下面微分方程的解，機器人的初始化位置爲$x_0$
$x_t = x_0 + v_x t$
與此類似，我們可以得到y方向上的平移，事實上，對於平移（x和y方向），一般情況下我們有
$(x_t, y_t, \theta_t) = (x_0 + v_xt, y_0+v_yt, \theta_0)$
類似的，對於旋轉我們有
$(x_t, y_t, \theta_t) = (x_0, y_0, \theta_0 + \omega t)$
其中$\omega$是角速度，測量逆時針方向，單位爲rad/s.

然而，如果我們將平移和旋轉結合起來，則不成立了!我們不能寫作
$(x_t, y_t, \theta_t) = (x_0 +v_x t , y_0 + v_yt, \theta_0 + \omega t)$
原因是，如果我們根據速度向量$(v_x, v_y,\omega)$移動機器人一個微小量，我們有（一階近似）
$(x_\delta, y_\delta, \theta_\delta) = (x_0 + v_x \delta, y_0 + v_y \delta, \theta_0 + \omega \delta)$
但是現在機器人有旋轉，對於接下來的增量，速度向量在應用之前被旋轉。事實上，機器人在圓形軌跡上運動。

原因是平移和旋轉不能夠交換：先平移後旋轉跟先旋轉後平移到達不同的位置，正像說的：如果旋轉和平移可以交換，那麼我們可以在離開家之前做完所有的旋轉。

爲了更近一步，我們必須更加精確的描述機器人如何表現。具體的說，讓我們定義$T_1, T_2$的組合爲
$T_1 T_2 = (x_1, y_1, \theta_1)(x_2, y_2, \theta_2) = (x_1+\cos \theta_1 x_2-\sin \theta_1 y_2, y_1+\sin \theta_1 x_2 + \cos \theta_1 y_2, \theta_1 + \theta_2）$
這有點笨拙，所以我們求助於一個技巧：將2D位姿嵌入3×3矩陣的空間中，因此我們可以定義爲矩陣乘法組合：
$T_1 T_2 = \begin{bmatrix} R_1 & t_1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_2 & t_2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1 t_2 + t_1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
其中矩陣$R$是2D旋轉矩陣，定義爲
$R = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

現在，機器人做極小的運動可以寫爲
$T(\delta)=\begin{bmatrix} \cos \omega \delta & -\sin \omega \delta & v_x \delta \\ \sin \omega \delta & \cos \omega \delta & v_y \delta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & -\omega \delta & v_x \delta \\ \omega \delta & 1 & v_y \delta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \mathbf{I} + \delta \begin{bmatrix} 0 & -\omega & v_x \\ \omega & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
讓我們定義2D twist 向量 $\xi=(v,\omega)$，上述矩陣可寫爲
$\hat \xi \triangleq \begin{bmatrix} 0 & - \omega & v_x \\ \omega & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

如果我們想要讓t更大，我們可以把t劃分成更小的時間戳，例如劃分成n個，有
$T(t) = (I + \frac{t}{n} \hat \xi)... n \, times ... (I + \frac{t}{n} \hat \xi) = (I + \frac{t}{n} \hat \xi)^n$
結果如圖2所示， 當然，如果取n到無窮大，則有
$T(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} (I + \frac{t}{n} \hat \xi)^n$
對於實數，該式是指數函數的多項式形式
$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{x}{n})^n = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{x^k}{k!}$
該形式可以用來定義方陣，最終的結果表示機器人沿着圓形軌跡運動，得到$\hat \xi$的矩陣指數
$T(t) = e^{t \hat \xi} \triangleq \lim_{n \rightarrow \infty}(I + \frac{t}{n} \hat \xi)^n = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{t^k}{k!} \hat \xi^k$
我們稱該映射爲從2D twist $\hat \xi$到2D剛體變化的指數映射。

以上具備李羣理論的所有要素。我們稱2d剛體變換空間以及空間中的操作爲特殊歐幾里得羣($SE(2)$)。之所以稱爲李羣，是因爲它同時是一個拓撲羣和一個流形，這意味着乘法和求逆運算是平滑的。2D twists的空間以及下面將要定義的特殊二元操作稱爲與$SE(2)$關聯的李代數$\mathfrak{se}(2)$。

2. Basic Lie Group Concepts

現在，我們定義上面說明的概念，引入一些符號，然後大致瞭解一下。 在此之後，我們將介紹最常用的李羣及其李代數。

2.1 A Manifold and a Group

李羣$G$既是羣又是具有光滑羣操作的流形。與之相關聯的是李代數$\mathfrak{g}$，從廣義上講，它可以在單位的正切空間處確定，並完全定義了羣在單位附近的表現。從$\mathfrak{g}$到$G$有一個映射，稱爲指數映射。
$\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \rightarrow G$
它是多對一的映射。可以在原點周圍局部定義相應的逆，因此是一個“對數”
$\mathrm{log}:G \rightarrow \mathfrak{g}$
它將$G$中單位周圍的元素映射到$\mathfrak{g}$中的元素。

李羣的一個重要族是矩陣李羣，其元素爲n×n可逆矩陣，所有這些矩陣的集合以及矩陣乘法被稱爲維數爲n的一般線性羣$GL(n)$，以及 它的封閉子組是矩陣李羣。 我們感興趣的大多數（如果不是全部）李羣將是矩陣李羣。

2.2 Lie Algebra

李代數$\mathfrak{g}$被稱爲代數，因爲它具有二元操作李括號$[X，Y]$，其性質與$G$羣操作密切相關。例如，與代數相關的矩陣李羣，李括號爲$[A, B] \triangleq AB-BA$.

李括號對李羣操作的關係如下：對於可交換李羣，$\mathfrak{g}$中加性向量$X+Y$模仿了李羣操作。例如，在$\mathfrak{g}$中，如果有$Z= X + Y$，當通過指數映射到$G$中我們有
$e^Z = e^{X+Y} = e^X e^Y$
然而，對於非交換李羣不適用：
$Z = \log(e^Xe^Y) \neq X + Y$
然而，$Z$可利用BCH(Baker-Campbell-Hausdorff)公式計算¹:
$Z = X +Y + [X,Y ]/2 + [X −Y, [X,Y ]]/12 − [Y, [X, [X,Y ]]]/24 + . . .$

對於交換羣李括號是零，我們可以通過$Z = X + Y$。對於非交換羣我們可以使用BCH公式去近似。

2.3 Exponential Coordinates

對於n維矩陣李羣，與在李代數$\mathfrak{g}$中的向量空間$\R^n$是同構的，我們可以定義hat 運算²:
$\hat{}: x \in \R^n \rightarrow \hat x \in \mathfrak{g}$
表示將n維向量$x \in \R^n$映射到$\mathfrak{g}$空間元素，在矩陣李羣中，$\mathfrak{g}$的元素$\hat x$也是$n \times n$矩陣，該映射爲
$\hat x = \sum_{i=1}^n x_i G^i \tag{1}$
其中$G^i$是李羣生成器（generators）的$n \times n$矩陣。映射$x→x̂$的含義將取決於羣$G$，並且通常具有直觀的解釋。

2.4 Actions

羣元素作用到流形$M$上是一個重要的概念，例如，2D旋轉作用到2D點上，3D旋轉作用到3D點上等。尤其是在$M$上$G$的左作用定義爲一個平滑的映射$\Phi$:$G \times M \rightarrow M$有：

1. 單位元素$e$沒有影響，也就是$\Phi(e,p) = p$
2. 兩個作用組合成一個作用：$\Phi(g, \Phi(h, p))=\Phi(gh, p)$

n維矩陣羣$G$的作用（action）是乘$\R^n$上的矩陣向量，
$q = A p$
其中$p, q \in \R^n$，$A \in G \sube GL(n)$

2.5 The Adjoint Map and Adjoint Representation

假設一個點$p$在座標系$T$中表示爲$p'$，也就是$p' = Tp$,其中$T$表示全局座標$p$到局部座標$p'$的變換。爲了作用$A$,我們首先需要消去作用的$T$，然後應用$A$, 然後在結果上在作用$T$:
$q' = TAT^{-1}p'$
矩陣$TAT^{-1}$被認爲是$A$的共軛，這是羣論的核心要素。
一般，伴隨映射(adjoint map) $\mathbf{Ad}_g$通過$g$映射羣元素$a \in G$到它的共軛$gag^{-1}$。該映射在羣$G$中獲取，但它在李代數$\mathfrak{g}$有等價的表示：
$\mathbf{Ad}_ge^{\hat{x}} = g \, \mathrm{exp}(\hat{x}) \, g^{-1} = \mathrm{exp}(Ad_g \, \hat{x})$
其中$Ad_g: \mathfrak{g} \mapsto \mathfrak{g}$表示通過羣元素$g$參數化的映射，也稱作伴隨表示。 直觀的解釋是定義在原點（origin），但應用在羣元素$g$上的變化$\mathrm{exp}(\hat {x})$可以寫作$\hat{x}$的伴隨$Ad_g \, \hat{x}$。

在矩陣李羣的特殊情況下，伴隨可以寫成
$Ad_T \, \hat{x} \triangleq T \hat{x}T^{-1}$
因此我們有
$T e^{\hat{x}} T^{-1} = e^{T\hat{x}T^{-1}} \tag{2}$
其中$T \in G$, $\hat {x} \in \mathfrak{g}$是n維李代數的$n \times n$矩陣。

3. 2D Rotation

我們首先看一個簡單的2D旋轉羣。

3.1 Basics

李羣$SO(2)$是$2 \times 2$可逆矩陣的一般線性羣$GL(2)$的子羣，它的李代數是$2 \times 2$ 斜對稱(skew-symmetric)矩陣的向量空間。因爲$SO(2)$是一維流形，所以$\mathfrak{so(2)}$與$\reals$同構，我們定義
$\hat{}: \reals \mapsto \mathfrak{so(2)} \\ \hat{} : \omega \mapsto \hat{\omega}= [\omega]_+$
映射角度$\omega$到$2 \times 2$斜對稱矩陣$[\omega]_+$:
$[w]_+ = \begin{bmatrix} 0 & - \omega \\ \omega & 0 \end{bmatrix}$
指數映射的閉合形式爲：
$e^{[\omega]_+} = \begin{bmatrix} \cos \omega & - \sin \omega \\ \sin \omega & \cos \omega \end{bmatrix}$

3.2 Diagonalized Form

矩陣$[1]_+$可以通過奇異值$-i, i$和奇異向量${1 \brack i}$和${i \brack 1}$對角化。對投影幾何熟悉的讀者認爲是（齊次座標表示的）圓環點，具體有：
$[w]_+ = \begin{bmatrix} 0 & - \omega \\ \omega & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -i \omega & 0 \\ 0 & i \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}^{-1}$
因此有
$e^{[w]_+} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-i \omega} & 0 \\ 0 & e^{i \omega} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \omega & - \sin \omega \\ \sin \omega & \cos \omega \end{bmatrix}$
其中$e^{i \omega} = \cos \omega + i \sin \omega$。

3.3 Adjoint

$\mathfrak{so(2)}$的伴隨是恆等式，對於所有的交換羣也一樣：
$Ad_R \hat \omega = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}^T \\ = w \begin{bmatrix} -\sin \theta & - \cos \theta \\ \cos \theta & -\sin \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & - \omega \\ \omega & 0 \end{bmatrix}$
即
$Ad_R \hat \omega = \hat \omega$

3.4 Actions

對於$SO(2)$的向量空間是$\reals^2$，羣操作對應於一個旋轉點
$q = R p$
現在我們想知道通過$\omega$參數化一個增量發生了什麼：
$q(\omega) = R e^{[\omega]_+} p$
對於一個小角度$\omega$，我們有
$e^{[\omega]_+} \approx I + [\omega]_+ = I + \omega[1]_+$
其中$[1]_+$操作像是平面上作用在點的叉積：
$[1]_+ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =R_{\pi/2} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix} \tag{3}$
因此該操作的導數爲：
$\frac{\partial q(\omega)}{\partial \omega} = R \frac{\partial}{\omega}(e^{[\omega]_+}p) = R \frac{\partial}{\omega}(\omega [1]_+p) = R H_p$
其中$H_p$是依賴$p$的$2 \times 1$矩陣：
$H_p \triangleq [1]_+p ={-p_y \brack p_x}$

4. 2D Rigid Transformations

4.1 Basics

李羣$SE(2)$是$3 \times 3$可逆矩陣的一般線性羣$GL(3)$的子羣，它的形式爲：
$T \triangleq \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
其中$R \in SO(2)$是一個旋轉矩陣， $t \in \reals^2$是一個平移向量。$SE(2)$是$\reals^2$與$SO(2)$的半直積(semi-direct product)，寫作$SE(2) = \reals^2 \rtimes SO(2)$，具體的，對於$SE(2)$中的任何元素$T$可以寫爲：
$T= \begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
它們的組合爲
$\begin{bmatrix} R_1 & t_1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_2 & t_2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1t_2 + t_1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
也可以寫成下面按序匹配的方式：
$(R_1, t_1)(R_2, t_2) = (R_1R_2, R_1t_2 + t1)$
對應的李代數$\mathfrak{se(2)}$是由twist 座標 $\xi \in \reals^3$參數化的$3 \times 3$ twists $\hat \xi$向量空間， 該映射爲：
$\xi \triangleq {v \brack \omega} \mapsto \hat \xi \triangleq \begin{bmatrix} [w]_+ & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
注意，我們認爲機器人有位姿$(x, y, \theta)$,其中一二兩項是平移部分，最後一項是旋轉部分，它們對應的李羣生成器是
$G^x = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^{\theta} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
應用指數映射到twist $\xi$得到screw motion：
$T = e^{\hat \xi} = \Big( e^{[\omega]_+}, (I - e^{[\omega]_+})\frac{v^{\perp}}{\omega}\Big)$

4.2 The Adjoint Map

伴隨
$\begin{aligned} Ad_T \hat \xi &= T \hat \xi T^{-1} \\ &=\begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [\omega]_+ & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R^T & -R^Tt \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} [\omega]_+ & -[\omega]_+t + Rv \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} [\omega]_+ & Rv - t^{\perp} \omega \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \tag{4} \end{aligned}$
由此我們可以通過平面twist座標表示伴隨映射
${v^{'} \brack \omega^{'}} = \begin{bmatrix} R & - t^{\perp} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} {v \brack \omega}$

4.3 actions

$SE(2)$在2D點上的作用是通過使用齊次座標將點嵌入$\reals^3$中來完成
$\hat q = {q \brack 1} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}{p \brack 1}=T \hat p$
$SE(3)$類似（下面），我們可以在局部T座標系中計算速度$\hat \xi \hat p$:
$\hat \xi \hat p = \begin{bmatrix} [\omega]_+ & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix} {p \brack 1}= \begin{bmatrix} [\omega]_+p +v \\ 0 \end{bmatrix}$
僅取最上面的兩行，我們可以把它作爲$\reals^2$上的速度，因爲$H_p$是直接作用在指數座標$\xi$上的$2 \times 3$矩陣：
$[\omega]_+p + v = v + R_{\pi/2}p \omega = \begin{bmatrix} I_2 & R_{\pi/2}p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v \\ \omega \end{bmatrix} =H_p \xi$

5. 3D Rotations

5.1 Basics

李羣$SO(3)$是$3 \times 3$可逆矩陣的一般線性羣$GL(3)$的子羣，它的李代數$\mathfrak{se(3)}$是$3 \times 3$斜對稱（skew-symmetric）矩陣$\hat \omega$的線性空間。因爲$SO(3)$是一個三維流形，$\mathfrak{so(3)}$與$\reals^3$同構，我們定義映射
$\hat{}:\reals^3 \to \mathfrak{so(3)} \\ \hat{}: \omega \to \hat \omega = [\omega]_\times$
它映射三維向量$\omega$到斜對稱矩陣$[\omega]_\times$:
$[\omega]_\times = \begin{bmatrix} 0 & - \omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}=\omega_x G^x+\omega_yG^y + \omega_zG^z$
這裏矩陣$G^i$是$SO(3)$的生成器,
$G^{x} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, G^y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, G^z=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
分別對應到繞着X, Y, Z的旋轉，$\mathfrak{so(3)}$中的李括號$[x, y]$對應到$\reals^3$中的叉積$x \times y$。

因此，對於三維向量$\omega$有一個對應的旋轉
$R = e^{[\omega]_\times}$
它定義了已知$\omega$作爲canonical 或者指數座標，$SO(3)$的canonical 參數化。它等價於旋轉的軸角表示，其中單位向量$\omega/\theta$定義旋轉軸，旋轉角$\theta$定義旋轉量的大小。
指數映射的閉合形式可以通過Rodrigues 公式²計算
$e^{\hat \omega} = I + \frac{\sin \theta}{\theta} \hat \omega + \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} \hat \omega^2 \tag{5}$
其中$\hat \omega^2 = \omega \omega^T - I$,$\omega \omega^t$是$\omega$的外積，因此，一個效率上更好的變體是
$e^{\hat \omega} = (\cos \theta)I + \frac{\sin \theta}{\theta} \hat \omega + \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} \omega \omega^T \tag{6}$

5.2 Diagonalized Form

因爲3D旋轉$R$保持軸$\omega$不變，因此$R$可以被對角化爲
$R = C \begin{pmatrix} e^{-i\theta} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}C^{-1}$
其中$C=(c_1 \enspace c_2 \enspace \omega/\theta)$，$c_1 , c_2$是complex 特徵向量，對應繞着$\omega$的2D旋轉。這也意味着，通過（2）有
$\hat \omega = C \begin{pmatrix} -i \theta & 0 & 0 \\ 0 & i \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} C^{-1}$
在該情況下，$C$有 complex 列， 而且我們還有
$\hat \omega = B \begin{pmatrix} 0 & - \theta & 0 \\ \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} B^T \tag{7}$
其中$B=(b_1 \enspace b_2 \enspace \omega/\theta)$, $b_1, b_2$是通過源點且與$\omega$正交的一組二維平面的基。很明顯從3.2節，我們有
$c_1 = B \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix},c_2=B \begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
當我們求冪(7)時,我們得到繞着$\omega / \theta$軸，大小爲$\theta$的2D旋轉：
$R = B \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} B^T$
接下來的$R$使用前面的Rodrigues公式並擴展以上，我們有
$R = (\cos \theta) (b_1b_1^T + b_2b_2^T) + (\sin \theta)(b_2b_1^T -b_1b_2^T ) + \omega \omega^T / \theta^2$
因爲$B$是旋轉矩陣，我們有$BB^T = b_1b_1^T + b_2b_2^T + \omega \omega^T/\theta^2 = I$，使用（7）很容易得到$b_2b_1^T-b_1b_2^T = \hat \omega / \theta$，因此
$R = (\cos \theta)(I - \omega \omega^T/ \theta^2) + (\sin \theta)(\hat \omega/\theta) + \omega\omega^T/\theta^2$
它與（6）等價。

5.3 The Adjoint Map

對於旋轉矩陣$R$,我們可以證明(見附錄 性質9)下面的恆等式：
$R[\omega]_\times R^T = [R \omega]_\times \tag{8}$
因此，給定性質（8）$\mathfrak{so(3)}$的伴隨映射可簡化爲：
$Ad_R [\omega]_\times = R[\omega]_\times R^T = [R \omega]_\times$
而且將軸$\omega$旋轉到$R \omega$，就可以用指數座標表示。
舉個例子，在$R$系中的一個點$p$應用軸角旋轉$\omega$，我們可以：

1. 首先將$p$變換到世界座標系(可參見2.5節)，應用$\omega$（即在世界座標系中應用），然後旋轉回來：
   $q = R e^{[\omega]_\times}R^T$
2. 即應用變換後的軸角變換$Ad_R[\omega]_\times = [R \omega]_\times$:
   $q = e^{[R \omega]_\times}p$

5.4 Actions

對於$SO(3)$,向量空間是$\reals^3$，羣操作應用到一個旋轉點
$q = R p$
我們現在想知道通過參數化增量$\omega$會發生什麼：
$q(\omega) = Re^{[\omega]_\times}p$
因此導數爲：
$\frac{\partial q(\omega)}{\partial \omega} = R \frac{\partial}{\partial \omega}(e^{[\omega]_\times}p) = R \frac{\partial}{\partial \omega}([\omega]_\times p) = R[-p]_\times$
爲得到最後一個等式，有：
$[\omega]_\times p = \omega \times p = -p \times \omega= [-p]_\times \omega$

6 3D Rigid Transformations

李羣$SE(3)$是$4 \times 4$可逆矩陣的一般線性羣的子羣，其形式爲：
$T \triangleq \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
其中$R \in SO(3)$是旋轉矩陣， $t \in \reals^3$是平移向量。
也可以寫成下面按序匹配的方式：
$(R_1, t_1)(R_2, t_2) = (R_1R_2, R_1t_2 + t_1)$
它的李代數$\mathfrak{se(3)}$是 參數化$4 \times 4$ twist $\hat \xi$向量空間，$\hat \xi$的twist 座標是$\xi \in \reals^6$, 有映射
$\xi \triangleq {\omega \brack v} \to \hat \xi \triangleq \begin{bmatrix} [\omega]_\times & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
注意我們遵循 Frank Park 慣例，前三項表示旋轉，後三項表平移。因此，對於該參數化，$SE(3)$的生成器是
$G^1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} G^3= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ G^4= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^5 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^6= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
應用指數映射到 twist $\xi$得到一個在$SE(3)中的$screw motion：
$T = \mathrm{exp} \, \hat \xi$
指數映射的閉合解²爲：
$\mathrm{exp} \Big(\widehat {\omega \brack v} t\Big) = \begin{bmatrix} e^{[\omega]_\times t} & (I - e^{[\omega]_\times t})(\omega \times v) + \omega \omega^T vt \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

6.1 The Adjoint Map

伴隨
$\begin{aligned} Ad_T \hat \xi &= T \xi T^{-1} \\ &=\begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} [\omega]_\times & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R^T & - R^Tt \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} [R\omega]_\times & -[R \omega]_\times t + Rv \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} [R\omega]_\times & t \times R \omega + Rv \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$
從上面我們可以用twist 座標表示伴隨映射²:
${\omega^{\prime} \brack v^{\prime}}= \begin{bmatrix} R & 0 \\ [t]_\times R & R \end{bmatrix}{\omega \brack v}$

6.2 Actions

$SE(3)$在3D點上的作用是通過使用齊次座標將點嵌入$\reals^4$中來完成
$\hat q = {q \brack 1} = { Rp + t \brack 1} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}{p \brack 1} = T \hat p$
現在我們想知道通過$\xi$參數化增量pose會發生什麼：
$\hat q(\xi) = T e^{\hat \xi} \hat p$
因此導數是
$\frac{\hat q(\xi)}{\partial \xi} = T \frac{\partial }{\partial \xi}(\hat \xi \hat p)$
其中 $\hat \xi \hat p$對應$\reals^4$中的速度（在局部座標系T）:
$\hat \xi \hat p = \begin{bmatrix} [\omega]_\times & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix}{p \brack 1} = {\omega \times p + v\brack 0}$
請注意，速度與投影幾何中無窮大的點如何相似：它們對應於指示變化方向和大小的自由矢量。通過取最上面的三行，我們可以把它寫成$\reals^3$中的速度，因爲$H_p$是直接作用在指數座標$\xi$上的$3 \times 6$矩陣:
$\omega \times p + v = -p \times \omega + v = \Big[ -[p]_\times \enspace I_3\Big] {\omega \brack v}$
得到導數：
$\frac{\partial \hat q(\xi)}{\partial \xi} = T \frac{\partial}{\partial \xi}(\hat \xi \hat p)=T \begin{bmatrix} -[p]_\times & I_3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
逆操作$T^{-1}p$是
$\hat q = {q \brack 1} = {R^T(p-t) \brack 1} = \begin{bmatrix} R^T & -R^Tt \\ 0 & 1 \end{bmatrix} {p \brack 1} = T^{-1} \hat p$

7. 3D Similarity Transformations

3D相似變換羣$Sim(3)$是如下形式的$4 \times 4$可逆矩陣集合
$T \triangleq \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & s^{-1} \end{bmatrix}$
其中$s$是標量，有各種不同的李代數生成器表示，但我們使用
$G^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, G^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, G^3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0& 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\\ G^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, G^5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, G^6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ G^7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

7.1 Actions

$SE(3)$在3D點上的作用是通過使用齊次座標將點嵌入$\reals^4$中來完成
$\hat q = {q \brack s^{-1}} = {Rp+t \brack s^{-1}} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & s^{-1} \end{bmatrix} {p \brack 1} = T \hat p$
相對於$T$的$\xi$的導數$D_1f(\xi)$是$TH(p)$, 其中
$H(p) = G^i_{jk}p^j = \begin{bmatrix} 0 & z & -y & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -z & 0 & x & 0 & 1 & 0 & 0 \\ y & -x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
換言之
$D_1f(\xi) = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & s^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -[p]_\times & I & 0 \\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -R[p]_\times & R & -t \\ 0 & 0& -s^{-1} \end{bmatrix}$
這是對齊次座標的作用的導數。轉變成非齊次座標是
${q \brack a} \to q/a$
它的導數爲
$\Big[ a^{-1}I_3 \enspace -qa^{-2}\Big]$
對於$a = s^{-1}$,我們有
$D_1f(\xi) = \Big[ sI_3 \enspace -qs^2 \Big] \begin{bmatrix} -R[p]_\times & R & -t \\ 0 & 0& -s^{-1} \end{bmatrix}= \Big[ -sR[p]_\times \enspace sR \enspace -st + qs \Big] = \Big[ -sR[p]_\times \enspace sR \enspace sRp\Big]$

8. 2D Affine Transformations

李羣$Aff(2)$是$3 \times 3$可逆矩陣的一般線性羣的子羣，它映射無窮遠線到本身（無窮遠線），即保持並行性。仿射變換$A$可以寫作³：
$\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & t_1 \\ m_{21} & m_{22} & t_2 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$
其中$M \in GL(2), t \in \reals^2$，k是使得$det(A)=1$的標量。正如$SE(2)$是半直積一樣，$Aff(2) = \reals^2 \rtimes GL(2)$ 也是半直積。特別的，任何仿射變換 $A$可以寫爲
$A = \begin{bmatrix} 0 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$
它們的組合爲
$A_1A_2 = \begin{bmatrix} M_1 & t_1 \\ 0 & k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_2 & t_2 \\ 0 & k_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} M_1M_2 & M_2t_2 + k_2 t_1 \\ 0 & k_1k_2 \end{bmatrix}$
由此可以得出，$SO(2)$和$SE(2)$羣都是子羣，其中$SO(2) \subset SE(2) \subset Aff(2)$。通過仔細選擇生成器，我們在關聯的李代數之間保持了這種層次，特別的，$\mathfrak{se(2)}$
$G^1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^3 = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
使用下面的三個生成器可以被拓展到李代數$\mathfrak{aff(2)}$
$G^4 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}， G^5= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}， G^6= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
因此，李代數$\mathfrak{aff(2)}$是通過6個參數$a \in \reals^6$參數化的$3 \times 3$增量仿射變換的向量空間，該映射
$a \to \hat a \triangleq \begin{bmatrix} a_5 & a_4 - a_3 & a_1 \\ a_4 + a_3 & -a_5-a_6 & a_2 \\ 0 & 0 & a_6 \end{bmatrix}$
注意$G^5, G^6$改變了$x, y$的尺度(縮放)，但行列式(determinant)沒有變化:
$e^{xG_5} = \mathrm{exp} \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^x & 0 & 0 \\ 0 & e^{-x} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \\ e^{xG_6} = \mathrm{exp} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & e^{-x} & 0 \\ 0 & 0 & e^x \end{bmatrix}$
通過選擇使$x$和$y$的縮放比例更直接對應可能更好
$G^5= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}， G^6= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
因此
$e^{xG_5} = \mathrm{exp} \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -x \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/e^x \end{bmatrix}, \\ e^{xG_6} = \mathrm{exp} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & -x \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & e^{x} & 0 \\ 0 & 0 & 1/e^x \end{bmatrix}$

9. 2D Homographies

當以2D投影空間$\mathscr{p}^3$表示對圖像的操作時，3D旋轉是2D單應性的一種特殊情況。 現在，根據^{4 3}中的論述粗略地處理這些內容。

9.1 Basics

李羣 $SL(3)$是一般線性羣$GL(3)$的子羣，它是行列式爲1的$3 \times 3$的可逆矩陣。單應性生成了2D投影空間的變換， 且$Aff(2) \subset SL(3)$。
通過增加兩個生成器可以擴展$\mathfrak{aff(2)}$到李代數$\mathfrak{sl(3)}$
$G^7 = \begin{bmatrix} 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, G^8 = \begin{bmatrix} 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
,8個參數參數化的增量單應矩陣$\hat h$ 是$3 \times 3$的向量空間，該映射爲
$h \to \hat h \triangleq \begin{bmatrix} h_5 & h_4 - h_3 & h_1 \\ h_4 + h_3 & -h_5-h_6 & h_2 \\ h_7 & h_8 & h_6 \end{bmatrix}$

9.2 Tensor Notation

• 二維投影空間A和B之間的單應性可以用張量記號$H^B_A$表示
• 然後應用單應性是張量連接$x^B = H^B_A x^A$，將A中的點映射到B中的點。

Appendix: Proof of Proerty 9

$\begin{aligned} R[\omega]_\times R^T & = R[\omega]_\times [a_1 \enspace a_2 \enspace a_3] \\ &= R[\omega \times a_1 \enspace \omega \times a_2 \enspace \omega \times a_3] \\ &= \begin{bmatrix} a_1(\omega \times a_1 ) & a_1(\omega \times a_2) & a_1(\omega \times a_3) \\ a_2(\omega \times a_1 ) & a_2(\omega \times a_2) & a_2(\omega \times a_3) \\ a_3(\omega \times a_1 ) & a_3(\omega \times a_2) & a_3(\omega \times a_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \omega(a_1 \times a_1 ) & \omega(a_2 \times a_1) & \omega (a_3 \times a_1) \\ \omega(a_1 \times a_2 ) & \omega(a_2 \times a_2) & \omega (a_3 \times a_2) \\ \omega(a_1 \times a_3 ) & \omega(a_2 \times a_3) & \omega (a_3 \times a_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & - \omega a_3 & \omega a_2 \\ \omega a_3 & 0 & -\omega a_1 \\ -\omega a_2 & \omega a_1 & 0 \end{bmatrix} \\ &=[R \omega]_{\times} \end{aligned}$
其中 $a_1, a_2, a_3$是$R$的行向量，上面我們使用了旋轉矩陣的正交性和triple 積規則：
$a(b \times c) = b(c \times a) = c(a \times b)$
類似，在不需要證明：
$R(a \times b) = Ra \times Rb$

Appendix:Alternative Generators for $\mathfrak{sl(3)}$

$\mathfrak{sl(3)}$的生成器：
$G^1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}, G^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix} ,G^3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}, \\ G^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}, G^5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}, G^6 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}, \\ G^7 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0& 0 \end{bmatrix}, G^8 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
我們選擇不同線性組合作爲基。

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1. B.C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Springer, 2000. ↩︎

2. R.M. Murray, Z. Li, and S. Sastry. A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press, 1994. ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎

3. C. Mei, S. Benhimane, E. Malis, and P. Rives. Efficient homography-based tracking and 3-D
   reconstruction for single-viewpoint sensors. IEEE Trans. Robotics, 24(6):1352–1364, Dec.2008. ↩︎ ↩︎

4. C. Mei, S. Benhimane, E. Malis, and P. Rives. Homography-based tracking for central cata-
   dioptric cameras. In IEEE/RSJ Intl. Conf. on Intelligent Robots and Systems (IROS), October 2006. ↩︎