正交多分辨分析：共軛濾波器證明

設$(\{V_{j},j\in \mathbb{Z}\},\phi(t))$爲$L^{2}(\mathbb{R})$上的一個正交多分辨分析，且有$W_{j}:W_{j} \perp V_{j},W_{j} \cup V_{j}=V_{j+1},\exist \psi(t)\in W_{0},s.t.\{\psi(t-n);n\in \mathbb{Z}\}$構成$W_{0}$的O.N.B。則我們知道$\phi(t)$爲尺度函數，$\psi(t)$爲正交小波函數，兩者可以分別利用低通濾波器$H(w)$和帶通濾波器$G(w)$來形象的描述（體現了線性子空間$V_{0}$，$W_{0}$，$V_{1}$之間的關係）。下面給出關於兩種濾波器的性質：

$|H(w|^{2}+|H(w+\pi)|^{2}=1$
$|G(w|^{2}+|G(w+\pi)|^{2}=1$
$H(w)G^{*}(w)+H(w+\pi)G^{*}(w+\pi)=0$

引入記號$\bf {M}(\it w)$,
$\bf {M}(\it w)= \left[ \begin{matrix} H(w) & H(w+\pi) \\ G(w) & G(w+\pi) \end{matrix} \right ]$
由濾波器性質可以得到：$\bf {M}(\it w) \bf {M^{*}}(\it w)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{matrix} \right ]$即$\bf {M}(\it w)$爲酉矩陣。下面給出證明過程:

（1）首先證明一個引理。

引理：設$s(t)\in L^{2}(\mathbb{R})$ ，則$\{s(t-n);n\in\mathbb{Z}\}$是O.B.S$\;\Leftrightarrow\;\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left | \hat s(w+2k\pi)\right |^{2}=1$

證明：

1. 充分性：設$s(t)\in L^{2}(\mathbb{R})$ ，則$\{s(t-n);n\in\mathbb{Z}\}$是O.B.S$\;\rightarrow\;\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left | \hat s(w+2k\pi)\right |^{2}=1$
   $\because\int_{-\infty}^{\infty}s(t-n)s^{*}(t-m)dt=\delta(n-m),\forall(n,m)\in\mathbb{Z}^{2}$
   $\therefore\int_{-\infty}^{\infty}s(t-n)s^{*}(t-m)dt \\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat s(w)e^{-inw}\hat s^{*}(w)e^{imw}dw\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat s(w)|^{2}e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}|\hat s(w)|^{2}e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\int_{0}^{2\pi}|\hat s(w+2k\pi)|^{2}e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}|\hat s(w+2k\pi)|^{2}e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}A(w)e^{-i(n-m)w}dw \\=\delta(n-m)$
   其中$A(w)=\sum\limits_{k=-\infty}^{k=\infty}|\hat s(w+2k\pi)|^{2}\in L^{2}(0,2\pi)$
   $\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipw};p\in \mathbb{Z}\}$是$L^{2}(0,2\pi)$上的O.N.B,所以：
   $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}A(w)=\sum\limits_{p\in\mathbb{Z}}\delta(p)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipw}\rightarrow A(w)=1$
2. 必要性：若$s(t)\in L^{2}(\mathbb{R}),\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left | \hat s(w+2k\pi)\right |^{2}=1\rightarrow\;$則$\{s(t-n);n\in\mathbb{Z}\}$是O.B.S
   $\therefore \int_{-\infty}^{\infty}s(t-n)s^{*}(t-m)dt \\=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}A(w)e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-i(n-m)w}dw \\=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-inw}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i(-m)w}dw \\=\delta(n-m)$

（2）$\because V_{0}$的O.N.B爲$\{ \phi (t-n);n\in\mathbb{Z}\}$構成$L^{2}(\mathbb{R})$上的O.N.S，所以由上述引理可以得到：
$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left | \hat \phi(w+2k\pi)\right |^{2}=1\;\;\;\;\;\;(1)$
將上式帶入尺度方程的頻域形式，即：
$\hat \phi(w)=H(\frac{w}{2})\hat \phi(\frac{w}{2})\;\;\;\;\;\;\;(2)$
將式(2)帶入式(1)：
$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left |H(\frac{w+2k\pi}{2})\hat \phi(\frac{w+2k\pi}{2})\right |^{2}=1\;\;\;\;\;(3)$
其中$H(w)$爲低通濾波器，表示爲：
$H(w)=\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}h_{n}e^{-inw}$
$H(w)$爲週期$2\pi$的週期函數，因此可以對(3)中的$H(\frac{w+2k\pi}{2})$進行化簡：
$|H(\frac{w}{2})|^{2}\sum\limits_{k=2m，m\in\mathbb{Z}}|\hat \phi(\frac{w}{2}+2m\pi)|^{2}\\+|H(\frac{w}{2}+\pi)|^{2}\sum\limits_{k=2m+1，m\in\mathbb{Z}}|\hat \phi(\frac{w}{2}+\pi+2m\pi)|^{2}=1$
重複利用式(1)，可以得到：
$|H(\frac{w}{2})|^{2}+|H(\frac{w}{2}+\pi)|^{2}=1$
對於所有的$w$，上式均成立，所以有：
$|H(w|^{2}+|H(w+\pi)|^{2}=1$
這也就是共軛濾波器，體現了尺度函數的性質。

（3）同樣地道理，$\because W_{0}$的O.N.B爲$\{ \psi (t-n);n\in\mathbb{Z}\}$構成$L^{2}(\mathbb{R})$上的O.N.S，所以由上述引理可以得到：
$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left | \hat \psi(w+2k\pi)\right |^{2}=1\;\;\;\;\;\;(4)$
將上式帶入尺度方程的頻域形式，即：
$\hat \psi(w)=G(\frac{w}{2})\hat \phi(\frac{w}{2})\;\;\;\;\;\;\;(5)$
將式(5)帶入式(4)：
$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left |G(\frac{w+2k\pi}{2})\hat \phi(\frac{w+2k\pi}{2})\right |^{2}=1\;\;\;\;\;(6)$
其中$G(w)$爲低通濾波器，表示爲：
$G(w)=\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}g_{n}e^{-inw}$
$G(w)$爲週期$2\pi$的週期函數，因此可以對(6)中的$G(\frac{w+2k\pi}{2})$進行化簡：
$|G(\frac{w}{2})|^{2}\sum\limits_{k=2m，m\in\mathbb{Z}}|\hat \phi(\frac{w}{2}+2m\pi)|^{2}\\+|G(\frac{w}{2}+\pi)|^{2}\sum\limits_{k=2m+1，m\in\mathbb{Z}}|\hat \phi(\frac{w}{2}+\pi+2m\pi)|^{2}=1$
重複利用式(1)，可以得到：
$|G(\frac{w}{2})|^{2}+|G(\frac{w}{2}+\pi)|^{2}=1$
對於所有的$w$，上式均成立，所以有：
$|G(w|^{2}+|G(w+\pi)|^{2}=1$
這也就是共軛濾波器，體現了小波函數的性質。

（4）$\because W_{0}$的O.N.B爲$\{ \psi (t-n);n\in\mathbb{Z}\}$構成$L^{2}(\mathbb{R})$上的O.N.S，$\because V_{0}$的O.N.B爲$\{ \phi (t-n);n\in\mathbb{Z}\}$也構成$L^{2}(\mathbb{R})$上的O.N.S，且$V_{0}\perp W_{0}$，所以有：

$\therefore\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t-n)\psi^{*}(t-m)dt \\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat \phi(w)\hat \psi^{*}(w)dw \\=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\int_{0}^{2\pi}\hat \phi(w+2k\pi)\hat \psi^{*}(w+2k\pi)e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\hat \phi(w+2k\pi)\hat \psi^{*}(w+2k\pi)e^{-i(n-m)w}dw \\=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}B(w)(w+2k\pi)e^{-i(n-m)w}dw \\=0$
其中$B(w)=\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\hat \phi(w+2k\pi)\hat \psi^{*}(w+2k\pi)\in L^{2}(0,2\pi)$
$\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipw};p\in \mathbb{Z}\}$是$L^{2}(0,2\pi)$上的O.N.B,所以：
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}B(w)=\sum\limits_{p\in\mathbb{Z}}0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipw}\rightarrow B(w)=0$
即:

若$\{ \psi (t-n);n\in\mathbb{Z}\}$和$\{ \phi (t-n);n\in\mathbb{Z}\}$構成$L^{2}(\mathbb{R})$上兩組正交的O.N.S，則：
$\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}\hat \phi(w+2k\pi)\hat \psi^{*}(w+2k\pi)=0$

將式(2)和式(5)帶入到上式中，可以得到：
$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}H(\frac{w+2k\pi}{2})G^{*}(\frac{w+2k\pi}{2})|\hat \phi(\frac{w+2k\pi}{2})|^{2}=0\;\;\;\;\;(6)$
重複之前的推導過程，可以得到：

$H(w)G^{*}(w)+H(w+\pi)G^{*}(w+\pi)=0$