数据库笔记：（二）、关系数据库

一、关系和关系模式

1.1 关系的数学定义

• 域（Domain）
  • 具有相同类型的值的集合 ， 例如：全体整数 。
  • 基数：域中值的个数。
• 笛卡尔积 （Cartesian Product）
  • 定义：给定一组域D1,D2,D3，则D1×D2×D3称为笛卡尔积。
  • 笛卡尔积D1×D2×D3对应一个二维表，所含元组的个数等于各个域的基数之积。

设 D1={张三，李四}， D2={数学，语文}， D3={优，良}

则D1×D2×D3可用二维表表示为：

-	-	-
张三	数学	优
张三	数学	良
张三	语文	优
张三	语文	良
李四	数学	优
李四	数学	良
李四	语文	优
李四	语文	良

1.2 关系（Relation）

• 定义
  • 笛卡儿积的一部分元组 ，记作 R（D1，D2，…，Dn）。
  • 关系是一个二维表
  • 每行对应一个元组
  • 每列可起一个名字，称为属性。属性的取值范围为一个域，元组中的一个属性值是一个分量。
• 关系的目（或度）
  • 一个关系所含属性的个数
• 关系的性质
  • 列是同质的，即每列中的数据必须来自同一个域
  • 每一列必须是不可再分的数据项（不允许表中套表，即 满足第一范式）
  • 不能有相同的行
  • 行、列次序无关

1.3 完整性约束

• 实体完整性：关系的所有主属性都不能取空值
• 参照完整性
  • 若属性F是关系R的外码，与关系S的主码对应，则：
    • F要么取空值
    • F要么等于S中某个元素的主码值。

二、关系代数

2.1 集合运算

• $R$, $t\in R$ , $t[A_i]$，$A$ ，$t[A]$，$\overline{A}$，$\overbrace{t_rt_s}$
  • 设关系模式为$R(A_1,A_2,...,A_n)$，它的一个关系设为R。
  • ==$t \in R$==表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组；
  • $t[A_i]$ 表示元组 $t$ 中相对应与属性 $A_i$ 的一个分量；
  • 若 $A=$ 属性组 $\{ A_{i1}, A_{i2},...,A_{ik} \}$ ；
  • $t[A] = (t[A_{i1}], t[A_{i2}],...,t[A_{ik}])$ 表示元组 $t$ 在 $A$ 上诸分量的集合；
  • $\overline{A}$ 表示 $\{A_1,A_2,...,A_n\}$ 中去掉$\{ A_{i1}, A_{i2},...,A_{ik} \}$ 后剩余的属性组；
  • $\overbrace{t_rt_s}$ 表示元组的连接（拼接）。
• 并（Union）： $R \cup S = { t | t \in R∨t \in S} $
  • R和S的属性个数相同
  • R和S相对应的属性属于同一个域
  • 所有在R中的也在S中的元组
• 交（Intersection）： $R ∩ S = { t | t∈R∧t∈S} $
• 差（Difference）： $R - S = { t | t∈R∧t∈S} $
  • 所有在R中，但是不在S中的元组
• 笛卡尔积：$R \times S = \{ \overbrace{t_st_r} | t_r \in R ∧ t_s \in S\}$

2.2 关系运算

• 选择（Selection），又称限制（Restriction）

$\sigma_F(R)$ ： 在关系R中选出满足条件F的诸元组形成一个新关系。 （从关系中选择符合条件的行）

• 投影（Projecttion）

$\pi_A(R)$ ： 在关系R中选出若干属性列组成一个新关系 。（删除一些不想要的列）

注：投影后若有重复行，则自动保留一个

• 连接（Join）

连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

1. 等值连接： θ为“=”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。
2. 自然连接： 是一种特殊的等值连接，即对两张表的所有公共属性上都做等值连接。
3. 外连接：自然连接之外，不符合等值连接的元组赋空值。

• 除（Division）

  • 设两个关系为：R(X, Y), S(Y, Z)；
  • R/S 表示找出在R中，跟S中所有的Y值都有联系的X值。

$R/S = \pi_x(R) - \pi_x((\pi_x(R) \times S) - R)$

三、关系演算

3.1 域关系演算

3.1.1 基本格式：

$\{<X_1, X_2,...,X_n> | P(X_1, X_2,...,X_n,X_{n+1},...,X_{n+m})\}$

• $X_1, X_2,...,X_n,X_{n+1},...,X_{n+m}$ 是域变量

• $X_1, X_2,...,X_n$ 是结果中要显示的变量

• P是表达式

3.1.2 表达式

• 原子公式（Atomic formula）

  • $<X_1, X_2,...,X_n> \in R$；$X op Y$；$XopConstant$；
  • $op$ 是 $<,>,=,\leq,\geq,\neq$ 其中之一；

• 原子公式是一个表达式

• ￢p（否定），p∧q（与），p∨q（或）是一个表达式

3.2 元组关系演算

3.2.1 基本格式：

$\{t[A] | P(t)\}$