The Coronation（2019 ICPC Southern and Volga Russian Regional E題+ 2-Sat）

The Coronation

題意：

給定$n$個長度爲$m$的$01$串，定義兩個串相似：兩個串對應位置相同的位置數量不小於某給定值$k$；可以通過反轉字符串使得兩個$01$串從不相似變成相似，求最少的反轉次數使得所有的$01$串兩兩相似。

思路：

1. 剛看到這題時還想過網絡流、雙向bfs？QAQ，後面突然想到好像可以2-Sat，於是就A了。。。
2. 那怎樣想到2-Sat呢？考慮到每個$01$串有兩種狀態，只能選其中一個；並且這些$01$串的狀態受到其他$01$串的限制，很像2-Sat！
3. 2-Sat關鍵就是從“不能怎樣”->“一定要那樣”，也就是從模糊的條件推出必須滿足的有向邊。而這裏先$O(n^2*m)$預處理出所有這樣的關係；對於任意兩個$01$串處理出都不反轉和一個反轉這兩種情況是否相似，若都不相似，說明這對$01$串沒救了！直接退出程序輸出$-1$；若兩種情況都滿足相似，則說明這兩個$01$串直接沒有任何限制，不連邊；剩下的就是隻有一種情況相似，根據情況連雙向邊即可（爲什麼是雙向邊呢？其實是兩條單向邊的疊加）。
4. 現在最關鍵的問題來了，如何使得反轉的$01$數量最少呢？考慮到前面連邊的方式（雙向邊）導致不同的GCC之間沒有任何邊，也就是沒有任何限制。因此對於每個沒有確定的字符串，先隨便確定它的狀態進行$dfs$，若失敗了，說明反轉後也會失敗！（這點很有趣）然後就可以直接退出程序輸出$-1$了。那如果成功了呢？怎樣保證反轉次數最少呢？單獨考慮當前GCC，GCC的整體（包含的所有字符串）都反轉，則當前GCC依然合法（畢竟都反轉等於都不反轉）；因此若當前GCC中選擇反轉的數量大於其包含點數的$\frac{1}{2}$，則選擇整體反轉，這樣就保證了反轉的數量儘可能小啦。

代碼

#include "bits/stdc++.h"
#define hhh printf("hhh\n")
#define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pr;
inline int read() {int x=0,f=1;char c=getchar();while(c!='-'&&(c<'0'||c>'9'))c=getchar();if(c=='-')f=-1,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return f*x;}

const int maxn = 100+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-7;

int n, m, k;
string s[maxn];
int head[maxn], to[maxn*maxn], nxt[maxn*maxn], tot;
int tmp[maxn], top;
bool choose[maxn];

inline void add_edge(int u, int v) {
    ++tot; to[tot]=v; nxt[tot]=head[u]; head[u]=tot;
    ++tot; to[tot]=u; nxt[tot]=head[v]; head[v]=tot;
}

bool dfs(int u) {
    if(choose[u^1]) return 0;
    if(choose[u]) return 1;
    choose[u]=1, tmp[++top]=u;
    for(int i=head[u]; i; i=nxt[i]) if(!dfs(to[i])) return 0;
    return 1;
}

void solve() {
    n=read(), m=read(), k=read();
    for(int i=0; i<2*n; ++i) head[i]=choose[i]=0; tot=0;
    for(int i=0; i<n; ++i) cin>>s[i];
    for(int i=0; i<n; ++i) {
        for(int j=i+1; j<n; ++j) {
            int c1=0, c2=0;
            for(int t=0; t<m; ++t) {
                if(s[i][t]==s[j][t]) c1++;
                if(s[i][t]==s[j][m-1-t]) c2++;
            }
            if(c1<k&&c2<k) return (void)printf("-1\n");
            if(c1>=k&&c2>=k) continue;
            else if(c1>=k) add_edge(2*i,2*j), add_edge(2*i+1,2*j+1);
            else if(c2>=k) add_edge(2*i,2*j+1), add_edge(2*i+1,2*j);
        }
    }
    vector<int> ans;
    for(int i=0; i<n; ++i) {
        if(choose[2*i]||choose[2*i+1]) continue;
        top=0;
        if(!dfs(2*i)) return (void)printf("-1\n");
        int rev_num=0;
        for(int j=1; j<=top; ++j) if(tmp[j]%2) rev_num++;
        if(rev_num>top/2) {
            for(int j=1; j<=top; ++j) if(tmp[j]%2==0) ans.push_back(tmp[j]/2+1);
        }
        else for(int j=1; j<=top; ++j) if(tmp[j]%2) ans.push_back(tmp[j]/2+1);
    }
    cout<<ans.size()<<endl;
    for(auto p: ans) printf("%d ", p);
    puts("");
}

int main() {
    int T=read();
    while(T--) solve();
}