四、實現方式
實現方式主要有逐比特計算法、並行計算法和查表法，逐比特計算法有2種方法，第一種是按照標準除法流程進行計算，第二種是按照標準除法等效的移位寄存器進行計算；並行計算法是一次進行多位bit的CRC計算，通過多位bit串聯的CRC計算公式得到整個發送序列的CRC；查表法把整個發送序列的CRC值存在一張表中，通過查詢即可得到CRC，發送序列太大時需要巨大的存儲空間，所以這種方法只適用於發送序列較短的情況，或者可以作爲並行計算算法的一部分，在進行多位bit的CRC計算時使用查表法，查表法不再敘述。
a）逐比特計算法
按照標準除法流程進行計算時的算法如下：
（1）在待傳輸的k比特數據後面加入（n-k）個0，即x^(n-k)M(x)
（2）取x^(n-k)M(x)的前（n-k+1）個數作餘式r(x)的初始值
（3）While (數據未處理完)，次數爲k次
Begin
If (r(x)首位是1)
r(x)= r(x)XOR g(x)
else
r(x)= r(x)
end
r(x)寄存器左移一位，按順序讀入一個新的x^(n-k)M(x)數據於r(x)寄存器的0 bit的位置。
End
（4） r(x)寄存器就是我們所要求的餘數。
MATLAB腳本程序如下：
function crc_out = CRC_direct(g,din，InitialState,FinalXOR) %%% g：生成多項式，din：數據輸入
lg = length(g); %%%%% g(x)的長度，爲n-k+1
ld = length(din); %%%%%%M(x)的長度，爲k
din_addzeros = [din;zeros(lg,1)]; %%%%%在待傳輸的k比特數據後面加入（n-k+1）
%%個0，多加一個是爲了爲後一步時，r(x)的長度保持爲n-k+1
r = din_addzeros(1:lg); %%%%%取x^(n-k)M(x)的前（n-k+1）個數作餘式r(x)的初始值
r(1:lg-1) = mod(din_addzeros(1:lg-1) +InitialState.',2) ;%%% r(x)的初始值和輸入初始值異或
for ii=1:ld %%%%次數爲k次
if r(1) ==0 %%%If (r(x)首位是0)
r(1:lg-1) = r(2:lg); %%% r(x)寄存器左移一位
r(lg)=din_addzeros(ii+lg); %%%%讀入一個新的x^(n-k)M(x)數據
else %%%If (r(x)首位是1)
r(1:lg-1) = mod(r(2:lg) + g(2:lg).',2); %%% r(x)= r(x)XOR g(x)，首位爲0，移除
r(lg)=din_addzeros(ii+lg); %%%%讀入一個新的x^(n-k)M(x)數據
end
end
r(1:lg-1) =mod(r(1:lg-1) + FinalXOR.',2); %%%與“結果異或值”進行異或
crc_out = [din;r(1:lg-1)]; %%%組成信息序列和CRC值
按照標準除法等效的移位寄存器進行計算的算法結構如下圖所示：
算法流程如下：
（1） 設置CRC寄存器，如果有初值，並給其賦值爲“餘數初始值”；
（2） 將M(x)的第一個bit 與CRC寄存器最高位進行異或，該結果與g(x)的最低位到次高位進行相乘（g(x)的階數比CRC高一階，所以長度與CRC相同），記爲rd，CRC寄存器最低位添0，向高位移位，在和rd異或後成爲新的CRC寄存器；
（3） M(x)下一個bit進行（2）操作；
（4） M(x)最後一個bit進行（2）操作後，CRC寄存器即爲CRC值；
（5） 最終CRC寄存器的內容與“結果異或值”進行或非操作後即爲最終的CRC值。
原理閱了Peterson和Brown寫的《Cyclic Codes for Error Detection》，除法如下圖：
可以把輸入數據拆開進行等效計算，輸入數據爲[1 1 1 0 1 0]，如下所示，
[1 1 1 0 1 0] =[1 0 0 0 0 0 ] + [0 1 0 0 0 0] + [0 0 1 0 0 0] + [0 0 0 0 0 0] +
[0 0 0 0 1 0] + [0 0 0 0 0 0]
第一個先求[1 0 0 0 0 0 ]的餘式，初始餘式爲全0，場景回到上一個餘式，即此時的餘式爲全0，記爲rx0=[0 0]，rx0和[1 0 0 0 0 0 ]的高2位[1 0]異或後即爲下一個餘式的高2位[1 0]，場景回到當前，[1 0]添0爲[1 0 0]，再處以[1 0 1]，此時商1，[1 0 0]異或[1 0 1]，餘式爲[0 0 1]，高位捨棄，餘式爲[ 0 1]，即[1 0 0 0 0 0 ]的最終餘式爲[0 1]；
第二個求[0 1 0 0 0 0 ]的餘式，上一個餘式爲[0 1]，場景回到上一個餘式，記爲rx1=[0 1]，rx1和[0 1 0 0 0 0 ]的2位[1 0]異或後即爲下一個餘式的高2位[1 1]，場景回到當前，[1 1]添0爲[1 1 0]，再處以[1 0 1]，此時商1，[1 1 0]異或[1 0 1]，餘式爲[0 1 1]，高位捨棄，餘式爲[ 1 1]，即[0 1 0 0 0 0 ]的餘式爲[11]；
第三個求[0 0 1 0 0 0 ]的餘式，上一個餘式爲[1 1]，場景回到上一個餘式，記爲rx2=[1 1]，rx2和[0 0 1 0 0 0 ]的2位[1 0]異或後即爲下一個餘式的高2位[0 1]，場景回到當前，[0 1]添0爲[0 1 0]，再處以[1 0 1]，此時商0，[0 1 0]異或[0 0 0]，餘式爲[0 1 0]，高位捨棄，餘式爲[1 0]，即[0 0 1 0 0 0 ]的餘式爲[10]；
以此類推，所以當前的輸入與上一個的餘式最高位的異或決定了當前的商值，異或爲1，商爲1，異或爲0，商爲0。
在https://blog.csdn.net/u011639609/article/details/51464773中有過解釋，參考如下圖，g(x)=x3+x2+1。
信息序列還是1001，初始狀態時，D1~D3三個寄存器的值都爲0，輸入的第一個信息比特是1，與D3的異或是1，這裏爲什麼輸入序列與D3做異或呢？其實這裏隱含了一個選擇操作，D1~D3代表當前的餘式，D3表示餘式的最高位。
場景回到上一個餘式，此時，D3爲上一個餘式的次高位，上一個餘式計算時，次高位與當前的下一個輸入的異或值，即爲下一個餘式的初始的最高位，若最高位爲1，下一個商爲1，若最高位爲0，下一個商爲0。
場景回到當前，所以如果當前的輸入與餘式最高位D3相同的話，則當前輸入與餘式的模2加爲0，即當前輸入更新使得餘式最高位爲0，則此時商上面上0，不用對生成多項式做模2加運算，餘式只要右移一位完成餘式的更新操作（一個比特與0異或等於自身，所以這種情況下，電路中異或不起作用）；另一種情況是，餘式最高位D3與當前輸入序列異或爲1，表示當前輸入更新後餘式包含最高位，需要對生成多項式求餘，求餘操作通過電路中的異或進行，完成D1~D3的更新。具體步驟如下：
(1) 初始狀態：輸入ui D1 D2 D3 輸出uo
0 0 0
(2) 1 1 0 1 1
(3) 0 1 1 1 0
(4) 0 1 1 0 0
(5) 1 1 1 0 1
D1~D3剩下的011即爲監督比特，剩下3拍，逐比特輸出：
(6) 0 0 1 1 0
(7) 0 0 0 1 1
(8) 0 0 0 0 1
MATLAB腳本程序如下：
function crc_out = CRC_direct_LFSR(g,din,InitialState,FinalXOR)
lg = length(g);
ld = length(din);
r = InitialState.'; %%%初始化
for ii=1:ld
rd = mod(r(1) + din(ii),2); %%%當前的輸入與上一個的餘式最高位的異或
r(1:lg-2) = mod(r(2:lg-1) + rd*g(2:lg-1).',2); %%%按g(x)的多項式更新
r(lg-1)=rd; %%%%最低位爲rd
end
r(1:lg-1) =mod(r(1:lg-1) + FinalXOR.',2);
crc_out = [din;r(1:lg-1)];
按照標準除法等效的移位寄存器進行計算的算法還有一種結構，如下圖所示：
b)並行計算法
並行計算法是一次進行多位bit的CRC計算，通過多位bit串聯的CRC計算公式得到整個發送序列的CRC，多位bit可以爲4位、8位或者16位。
以16位CRC爲例介紹，如果要計算16位CRC，如下２種方式：
- 一次可以進行8位CRC計算，再通過8位bit串聯的CRC計算公式得到整個發送序列的CRC；
- 一次可以進行16位CRC計算，計算方法即爲正常CRC的方法：將本組CRC的值和下一組16位數據值異或後，重新計算得到下一組的CRC值，順序執行即可得到整個發送序列的CRC；
8位bit的CRC計算值可以查表得到，用逐比特計算法計算得到表值 ；
8位bit串聯的CRC計算公式如下，參見《通信系統中的CRC算法的研究和工程實現_廖海紅》：
MATLAB腳本程序如下：
function crc_out = CRC_Paraller16_8(g,din,InitialState,FinalXOR,direct)
lg = length(g);
ld = length(din);
din(1:lg-1) = mod(din(1:lg-1) +InitialState.',2) ;
M = 8;
Num = ld/M;
din_1 = din(1:M); %%%第一組8bit
if direct == 1
r_M(:,1) = CRC_direct_LFSR(g,din_1,zeros(1,lg-1),FinalXOR);%%%直接法
else
r_M(:,1) = CRC_table(din_1); %%%查表法
end
r = r_M(end-lg+2:end,1);
for ii=2:Num %%%第二組到最後一組8bit
rL = [r(9:16);zeros(8,1)]; %%低8位左移
din_ii= mod(din(ii*M-M+1:ii*M) +r(1:8),2) ; %%取高8位
if direct == 1
r_M(:,ii) = CRC_direct_LFSR(g,din_ii,zeros(1,lg-1),FinalXOR); %%%直接法
else
r_M(:,1) = CRC_table(din_1) ; %%%查表法
end
r = mod(rL + r_M(end-lg+2:end,ii),2); %%%相加
end
r(1:lg-1) =mod(r(1:lg-1) + FinalXOR.',2);
crc_out = [din;r(1:lg-1)];
獨立16位bit的CRC計算公式可以根據生成多項式進行推導或者查表得到。
根據生成多項式進行推導16位bit的CRC計算公式的結構如下圖所示：
對應的MATLAB腳本程序（在Zhao Baozhu的基礎上修改的）如下：
para =16; %%%%並行位數
gen = [1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1]; %%%生成多項式，x^16+x^15+x^2+1
crc_value = [diag(ones(1,length(gen)-1)),zeros(length(gen)-1,para)];%%%初始值
%%%%%% crc_value含義：第1行爲CRC新值0的表達式，其中前16bit爲CRC舊值，從低到高依次爲CRC舊值0，1，…15，爲1表示需要異或，爲0表示不需要異或，17-32bit爲輸入bit，分別爲d0，d1，…d15,d15表示第1個輸入，d15表示第16個輸入，依次類推，第2行爲CRC新值1的表達式，…，第16行爲CRC新值15的表達式。所以前16*16矩陣爲diag，後16*16爲全0，表示初始值。
%%%%%%
%%%%%%
for i=1:para
dataXORcrc_value_end = crc_value(length(gen)-1,:); %%%先取CRC舊值最高位
dataXORcrc_value_end(length(gen)+para-i) = 1; %%%%輸入bit置爲1，相當於異或
for j=length(gen)-1:-1:2 %%%%%%必須逆序，先把高位置爲新值
if gen(j)==1
crc_value(j,:) = crc_value(j-1,:)+dataXORcrc_value_end;
else
crc_value(j,:) = crc_value(j-1,:);
end
end
crc_value(1,:) = dataXORcrc_value_end;
end
crc_value = mod(crc_value,2);
for i = 1:length(gen)-1
s=sprintf('crc_new(%d) =',i-1);
for j = 1:length(gen)+para-1
if crc_value(i,j) == 1
if j <length(gen)
str=sprintf(' crc_old(%d)',j-1);
else
str=sprintf(' data_new(%d)',j-length(gen));
end
s=strcat(s,' +',str);
end
end
simplepoly{i,1}=s;
end
運行後得到x^16+x^15+x^2+1的CRC16bit並行計算公式如下所示：
其中，crc_new(0) = + crc_old(0) + crc_old(4) + crc_old(8) + crc_old(11) + crc_old(12) + data_new(0) + data_new(4) + data_new(8) + data_new(11) + data_new(12)，CRC舊值和data新值的序號一模一樣，所以CRC舊值和data新值可以先進行異或成爲新的data_new，再通過公式算出CRC，公式只取data_new相關的部分，例如：
crc_new(0) = data_new(0) + data_new(4) + data_new(8) + data_new(11) + data_new(12)。
以16位bit爲單位連續bit的CRC計算的MATLAB腳本程序如下：
function crc_out = CRC_Paraller16_16(g,din,InitialState,FinalXOR,direct)
lg = length(g);
ld = length(din);
din(1:lg-1) = mod(din(1:lg-1) +InitialState.',2) ;
M = 16;
Num = ld/M;
din_1 = din(1:M); %%%第一組16bit
if direct == 1
r_M(:,1) = CRC_direct_LFSR(g,din_1,zeros(1,lg-1),FinalXOR); %%%直接法，也可以用根據生成多項式進行推導的公式或者查表法
end
r = r_M(end-lg+2:end,1);
for ii=2:Num
din_ii= mod(din(ii*M-M+1:ii*M) +r,2) ; %%%和上一組的餘式進行相加
if direct == 1
r_M(:,ii) = CRC_direct_LFSR(g,din_ii,zeros(1,lg-1),FinalXOR); %%%直接法，也可以用根據生成多項式進行推導的公式或者查表法
end
r = r_M(end-lg+2:end,ii);
end
r(1:lg-1) =mod(r(1:lg-1) + FinalXOR.',2);
crc_out = [din;r(1:lg-1)];