2020-5-22 吴恩达-改善深层NN-w1 深度学习的实用层面(1.9 归一化输入(特征)-加速训练，优化J简单-因为任何位置都可以快速下降，步长大)

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1.9 归一化输入 Normalizing inputs

训练NN，其中一个加速训练的方法就是归一化输入。

如上图，数据集的散点图。
假设一个训练集有两个特征，输入特征为2维，归一化需要两个步骤：

• step1：零均值

$\mu =\frac 1m\sum_{i=1}^mx^{(i)}$
向量X等于每个训练数据 x 减去$\mu$，即X := x-μ，意思是移动训练集，直到它完成零均值化。如下图。

• step2：归一化方差

注意：上图中特征$x_1$的方差比特征$x_2$的方差要大得多

我们要做的是给$\sigma$赋值。
$\sigma^2=\frac 1m\sum_{i=1}^m(x^{(i)})^2$
这是元素$y$的平方。$\sigma^2$是一个向量，它的每个特征都有方差。

到此，我们已经完成零值均化，$(x^{(i)})^2$或者说元素$y^2$就是方差。我们把向量X所有数据除以向量$\sigma^2$，即X /=σ**2，最后变成下图形式。

此时$x_1$和$x_2$的方差都等于1，如下图。

提示一下，如果你用它来调整训练数据，那么也用相同的$\mu$和$\sigma^2$来归一化测试集。尤其是，你不希望训练集和测试集的归一化有所不同。所以你要用同样的方法调整测试集，而不是在训练集和测试集上分别预估$\mu$和$\sigma^2$。

训练数据和测试数据都是通过相同$\mu$和$\sigma^2$定义的相同数据转换，其中$\mu$和$\sigma^2$是由训练集数据计算得来的。

为什么我们想要归一化输入特征？

$J(w,b)=\frac 1m\sum_{i=1}^mL(\hat y^{(i)},y^{(i)})$
上面是代价函数J公式。

我们来对比一下非归一化和归一化代价函数有什么不同。

• 非归一化的输入特征

如果你使用非归一化的输入特征，代价函数会像这样

这是一个非常细长狭窄的代价函数，最小值应该在原点。
但如果特征值在不同范围，假如$x_1$取值范围从1到1000，特征$x_2$的取值范围从0到1，结果是参数$w_1$和$w_2$值的范围或比率将会非常不同。

上图数据轴应该是$w_1$和$w_2$，但为了便于直观理解，图中标记为w和b。代价函数就有点像狭长的碗一样，如果你能画出该函数的部分轮廓，它会是这样一个狭长的函数，如下图。

如果你在上图这样的代价函数上运行梯度下降法，你必须使用一个非常小的学习率。

如上图，梯度下降法可能从图中左下方开始，需要多次迭代过程，直到最后找到最小值。

• 归一化特征

然而如果你归一化特征，代价函数平均起来看更对称。

此时代价函数是一个更圆的球形轮廓。如上图，不论从哪个位置开始，梯度下降法都能够更直接地找到最小值，你可以在梯度下降法中使用较大步长，而不需要像在非归一化狭长图中那样反复执行。

当然，实际上w是一个高维向量，因此用二维绘制并不能正确地传达并直观理解。但总得来说，代价函数更圆一些，就更容易优化。前提是特征都在相似范围内，而不是一个特征从1到1000，另外特征从0到1的范围，而是特征都在-1到1范围内或相似偏差，这使得代价函数优化起来更简单快速。

实际上如果假设特征$x_1$范围在0-1之间，$x_2$的范围在-1到1之间，$x_3$范围在1-2之间，它们是相似范围，所以算法运行会表现得很好。

当它们在非常不同的取值范围内，如其中一个从1到1000，另一个从0到1，这对优化算法非常不利。但是仅将它们设置为均化零值，假设方差为1，确保所有特征都在相似范围内，通常可以帮助学习算法运行得更快。

所以如果输入特征处于不同范围内，可能有些特征值从0到1，有些从1到1000，那么归一化特征值就非常重要了。如果特征值处于相似范围内，那么归一化就不是很重要了。执行这类归一化并不会产生什么危害，我通常会做归一化处理，虽然我不确定它能否提高训练或算法速度。

总结

• 输入特征处于相似范围内，不一定要归一化。
• 输入特征处于不同范围内，一定要归一化。

执行这类归一化并不会产生什么危害，所以别管范围，都做吧。