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問題描述:
給定N中物品和一個揹包。物品i的重量是Wi,其價值位Vi ,揹包的容量爲C。問應該如何選擇裝入揹包的物品,使得轉入揹包的物品的總價值爲最大??
在選擇物品的時候,對每種物品i只有兩種選擇,即裝入揹包或不裝入揹包。不能講物品i裝入多次,也不能只裝入物品的一部分。因此,該問題被稱爲0-1揹包問題。
問題分析:令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)個物品中能夠裝入容量爲就j(1<=j<=C)的揹包中的物品的最大價值,則可以得到如下的動態規劃函數:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0
(2) V(i,j)=V(i-1,j) j<wi
V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi
(1)式表明:如果第i個物品的重量大於揹包的容量,則裝人前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價是相同的,即物品i不能裝入揹包;第(2)個式子表明:如果第i個物品的重量小於揹包的容量,則會有一下兩種情況:(a)如果把第i個物品裝入揹包,則揹包物品的價值等於第i-1個物品裝入容量位j-wi 的揹包中的價值加上第i個物品的價值vi; (b)如果第i個物品沒有裝入揹包,則揹包中物品價值就等於把前i-1個物品裝入容量爲j的揹包中所取得的價值。顯然,取二者中價值最大的作爲把前i個物品裝入容量爲j的揹包中的最優解。
#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i個物品裝入容量爲j的揹包中獲得的最大價值
int max(int a,int b)
{
if(a>=b)
return a;
else return b;
}
int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++)
V[i][0]=0;
for(j=0;j<=C;j++)
V[0][j]=0;
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=C;j++)
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
j=C;
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
if(V[i][j]>V[i-1][j])
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
printf("選中的物品是:\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d ",x[i]);
printf("\n");
return V[n-1][C];
}
void main()
{
int s;//獲得的最大價值
int w[15];//物品的重量
int v[15];//物品的價值
int x[15];//物品的選取狀態
int n,i;
int C;//揹包最大容量
n=5;
printf("請輸入揹包的最大容量:\n");
scanf("%d",&C);
printf("輸入物品數:\n");
scanf("%d",&n);
printf("請分別輸入物品的重量:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&w[i]);
printf("請分別輸入物品的價值:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&v[i]);
s=KnapSack(n,w,v,x,C);
printf("最大物品價值爲:\n");
printf("%d\n",s);
}