藍橋杯練習：地宮取寶

問題 1436: [藍橋杯][2014年第五屆真題]地宮取寶
解法一： 動態規劃
子問題
每個位置拿着k個寶物價值都低於g的方法
確定狀態
map[i][j] (i,j)處的寶物價值
dp[i][j][sum][gold] (i,j)處拿着sum個寶物價值都低於gold 的方法數
則結果就是dp[n][m][k][12] 即出口處拿着k個寶物價值都低於12（價值0~12）的方法數
邊界狀態
在入口處，只有sum=1且gold>入口處寶物價值，或者sum=0，即入口可取時和不取兩種情況下，有一可行方法：dp[i][j][sum][gold]=1，其餘都爲0
因爲首行首列也由繼承而來，所以(i= =0||j= =0)的時候dp[i][j][sum][gold]=0，計數從1開始
狀態轉移
拿當前位置的寶物：(gold>map[i][j]&&sum>0)
YES= dp[i-1][j][k-1][sum-1][map[i][j]] (從上邊繼承)+dp[i][j-1][k-1][map[i][j]] (從左邊繼承)
不拿當前位置的寶物：
NO= dp[i-1][j][k][c] (從上邊繼承)+dp[i][j-1][k][c] (從左邊繼承)
則dp[i][j][k][c]= (YES+NO)

package 藍橋;

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static int n;//行
	static int m;//列
	static int k;//需取數
	static int mod = 1000000007;//取餘值
	static int dp[][][][] = new int[51][51][13][13];//x,y,已取數,最大價值
	static int map[][] = new int[51][51];//價值

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j <m; j++) {
				map[i+1][j+1] = sc.nextInt();
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				for(int s=0;s<=k;s++) {
					for(int g=0;g<13;g++) {
						int YES=0;
						int NO=0;
						if(i==1&&j==1){
				            if((s==0||(s==1&&g>map[i][j]))){
				            	dp[i][j][s][g]=1;
				            }
				            continue;
				        }
						if(s>0&&g>map[i][j]) {
							YES=dp[i-1][j][s-1][map[i][j]]+dp[i][j-1][s-1][map[i][j]];
							YES%=mod;
						}
				        NO=dp[i-1][j][s][g]+dp[i][j-1][s][g];
				        NO%=mod;
				        dp[i][j][s][g]=YES+NO;
				        dp[i][j][s][g]%=mod;
				    }
					}
				}
			}
		System.out.println(dp[n][m][k][12]);
		}
	}

解法二： 深度搜索+記憶化+動態規劃
通過DFS從入口開始遍歷所有的點，用動態規劃計算該點可行方法數並記憶

package 藍橋;

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static int n;//行
	static int m;//列
	static int k;//需取數
	static int mod = 1000000007;//取餘值
	static int dp[][][][] = new int[50][50][15][15];//x,y,已取數,最大價值
	static int map[][] = new int[50][50];//價值

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < m; j++) {
				map[i][j] = sc.nextInt();
			}
		}
		fill(dp);//因爲有的格子不能走，即方法數爲0，避免重複搜索，全部置爲-1
		System.out.println(dfs(0, 0, 0, -1));//最低價值爲0，入口處可取可不取，因此初始最高價值置爲-1
	}

	static int dfs(int x, int y, int sum, int max) {
		//越界，比如一直向下一直向右，不可行
		if(x>=n||y>=m||sum>k) {
			return 0;
		}
		//入口的方法數已更新，即已經搜索完畢
		if(dp[x][y][sum][max+1]!=-1) {//因爲max初值設爲-1，不+1會下越界
			return dp[x][y][sum][max+1];
		}
		int count=0;//方法數
		int gold=map[x][y];//當前位置的價值
		if(x==n-1&&y==m-1) {//到達出口
			//如果已經有K個或者有k-1個且出口處的價值大於手中價值（即可以拿），即爲一種可行方法
			if(sum==k||(sum==k-1&&gold>max)) {
				return 1;
			}
			//到達出口但是寶物不夠，不可行
			return 0;
		}
		if(gold>max) {//此處可取，取之，每次相加時取餘
			count+=dfs(x+1,y,sum+1,gold);
			count%=mod;
			count+=dfs(x,y+1,sum+1,gold);
			count%=mod;
		}
		//不取（不能取和可取但是沒有取兩種情況）
		count+=dfs(x+1,y,sum,max);
		count%=mod;
		count+=dfs(x,y+1,sum,max);
		count%=mod;
		//記憶
		dp[x][y][sum][max+1]=count;
		return count;
	}

	static void fill(int[][][][] dp2) {
		for (int i = 0; i < 50; i++) {
			for (int j = 0; j < 50; j++) {
				for (int k = 0; k < 15; k++) {
					for (int l = 0; l < 15; l++) {
						dp[i][j][k][l] = -1;
					}
				}
			}
		}

	}
}