緩和曲線參數再推導

〇、前言

在20世紀90年代之前，我國的高速公路還沒有大規模建設，公路建設基本以二、三級甚至更低等級的公路爲主，因此測量放樣採用以前教科書上的切線支距法、偏角法等已經可以滿足測量精度和工期的需要。隨着20世紀80年代末90年代初高速公路建設事業的興起，公路平面線型設計多樣化，線型組合複雜，加之建設進度要求加快，相應精度要求也比普通公路要高，切線支距法、偏角法等已經不能滿足測量精度和工期的需求了。因此必須採用座標法精確計算平曲線上任意點的座標，然後再採用座標法進行放樣。在計算座標的過程當中，直線和圓曲線的計算方法簡單，難點在於計算緩和曲線上任意點的座標。在我國的公路、鐵路工程平曲線設計中，普遍採用輻射螺旋線（又稱迴旋曲線）作爲緩和曲線的線型計算模型（因此以下的緩和曲線均指回旋曲線）。爲了計算緩和曲線上任意點的座標，我們有必要從緩和曲線特性來推導出其代表參數的計算公式，進而爲座標的精確計算提供基礎依據。

一、緩和曲線特性

對於完整緩和曲線，設起點爲ZH點，其半徑r=∞，設終點爲HY點，其半徑r=R，起終點間緩和曲線全長爲Ls；設p爲緩和曲線上任意一點，曲率半徑爲r，該點至起點的曲線長度爲l，根據迴旋線特性：迴旋線是半徑與曲線長度成反比的曲線，則rl=RLs=C。其中C爲常數，稱爲迴旋線半徑變化率，爲今後計算方便，引入迴旋曲線參數A，令A²=C。即當緩和曲線終點圓曲線半徑（迴旋線曲率半徑）R及迴旋線長度Ls已知時，C及A即可唯一確定。

二、緩和曲線參數計算

迴旋曲線參數A的計算：根據前述緩和曲線特性，已經得出迴旋曲線參數A的計算公式即：A²=C=rl=RLs。
迴旋線中心角（緩和曲線角）的計算：根據幾何關係可知，迴旋線上任意點p與緩和曲線起點之間的曲線長度l所對應的曲線中心角β即切線角，與p點切線與起點切線之間的夾角相等。在該p點取一微分弧段dl，所對應的中心角爲dβ，於是有：

~~ $d\beta =\frac{dl}{r}=\frac{ldl}{C}=\frac{ldl}{RLs}\Rightarrow \beta =\int \frac{ldl}{RLs}=\frac{l^2}{2RLs}$ ~~
則當l=Ls即緩和曲線終點處對應的緩和曲線圓心角爲：
β₀= $\frac{Ls^2}{2RLs}=\frac{Ls}{2R}=\frac{A^2}{2R^2}=\frac{Ls^2}{2A^2}$
局部座標參數計算 ：

建立以ZH點爲原點，過該點的切線爲x軸，法線爲y軸的座標系，則迴旋線上任意點p的座標爲x，y，在該p點取一微分弧段dl，其在座標軸上的投影分別爲dx，dy，則有：
$dx=dl·cosβ=rdβ·cosβ=\frac{A}{\sqrt{2β}}·cosβ\Rightarrow x=\frac{A}{\sqrt{2}}·∫\frac{cosβ}{\sqrt{β}}dβ$
$dy=dl·sinβ=rdβ·sinβ=\frac{A}{\sqrt{2β}}·sinβ\Rightarrow y=\frac{A}{\sqrt{2}}·∫\frac{sinβ}{\sqrt{β}}dβ$
而cos(β)和sin(β)的級數展開公式分別爲：
$cos(β)=1-\frac{β^2}{2!}+\frac{β^4}{4!}+……+(-1)^i·\frac{β^{2i}}{(2i)!}$ (注：i＝0從第一項1開始)
$sin(β)=\beta-\frac{β^3}{3!}+\frac{β^5}{5!}+……+(-1)^i·\frac{β^{2i+1}}{(2i+1)!}$ (注：i＝0從第一項β開始)
則有：

將其入前述x，y的積分公式即可求出x，y的數值公式：

將 $r=\frac{RLs}{l}$ 代入得:

由前式即可在已知R,Ls以及緩和曲線任意點p至起點緩和曲線長l的情況下計算p點的座標，然後再通過座標平移轉換即可求出該點在全局座標系下的座標X,Y；由 $\beta=\frac{l^2}{2RLs}$ 即可求出p點的緩和曲線角，切線方位角也可由緩和曲線起點切線方位角+β的方式計算出來。至此，緩和曲線上任意點的座標及方位角計算公式已推導完畢。
從該式我們可以看出，如果在x值計算時取i=1，則 $x=l-\frac{l^5}{40R^2Ls^2}$ ,在y值計算時取i=0，則 $y=\frac{l^3}{6RLs}$ ，此兩公式即爲我們在教科書以及各種參考書上普遍見到的x，y值計算公式，也就是捨棄了高次項的近似公式表達式。
爲了描述方便，我們假定兩個參數：

測量施工人員可以根據設計精度要求(在實際施工測量中，若座標精度達到1mm則完全滿足規範和相關控制需求)，通過判斷前述兩個參數xi、yi的值是否小於精度要求值來確定x、y參數計算所需取的項數。
曲線內移距p和切線增長值q的計算 ：

由幾何特性可知，p=y-r(1-cosβ)，q=x-rsinβ，將x、y、cosβ、sinβ的級數展開式代入併合並同類項後（推導過程略）得到：

爲了防止在計算過程中

數值溢出，也可將前述公式修改爲：

當i取值0時， $p=\frac{Ls^2}{24R}，q=\frac{Ls}{2}$ 也是我們在教科書以及各種參考書上普遍見到的p，q值計算公式，也就是捨棄了高次項的近似公式表達式。
同理，爲了描述方便，我們假定pi，qi兩個參數，測量施工人員可以根據設計精度要求(在實際施工測量中，若座標精度達到1mm則完全滿足規範和相關控制需求)，通過判斷下述兩個參數pi、qi的值是否小於精度要求值來確定p、q參數計算所需取的項數。