緩和曲線中線與其平行線間面積的精確推導

很多時候我們需要單獨計算路線某一側指定範圍的面積，由於緩和曲線的特殊性，僅僅是簡單的平均算法肯定不能滿足工程要求。現在筆者就從緩和曲線的基本特性入手，給大家推導出面積計算的精確公式，希望能幫到大家！(文中計算方法爲筆者根據緩和曲線特性原創推導，轉載請註明出處)

如圖所示，設緩和曲線平行線到緩和曲線中線的距離爲D，取緩和曲線上一小微段，小微段夾角爲$\theta$，此處的緩和曲線半徑爲r，則有：$dl=r·d\theta；dL=(D+r)·d\theta=(D+r)·\frac{dl}{r}=(1+\frac{Dl}{A^2})dl$
面積$dS=\frac{dl+dL}{2}·D=\frac{dl}{2}·D+\frac{dl}{2}·D+\frac{dl}{2A^2}·D^2l=Ddl+\frac{D^2l}{2A^2}dl$
積分後得到：$S=Dl+\frac{D^2l^2}{4A^2}$

1、對於完整緩和曲線：

$S=DL_S+\frac{D^2L_S^2}{4RL_S}=DL_S+\frac{D^2L_S}{4R}$
上述面積爲緩和曲線外側至邊線組成的面積公式，若是在內側，則：
$S=DL_S-\frac{D^2L_S}{4R}$
這說明緩和曲線段內左右側（即全寬範圍內）的邊線範圍內的曲線面積爲2DLs，與其他曲線無異，但左右側各不相同。

2、對於非完整緩和曲線（卵形曲線）

假設起點的推算完整緩和曲線長爲$L_1$，終點的推算完整緩和曲線長爲$L_2$，卵形曲線長度爲$L_F$，則其面積爲推算原點到終點間面積-推算原點至起點間面積，即：
$S=DL_2+\frac{D^2L^2_2}{4A^2}-DL_1-\frac{D^2L^2_1}{4A^2}=DL_F+\frac{D^2}{4A^2}(L^2_2-L_1^2)$
而$R_1L_1=R_2L_2=R_1(L_2-L_F)\Rightarrow L_1=\frac{R_2L_F}{R_1-R_2}； L_2=\frac{R_1L_F}{R_1-R_2}$
則$L_1+L_2=\frac{R_1+R_2}{R_1-R_2}L_F$
$S=DL_F+\frac{D^2}{4A^2}·\frac{R_1+R_2}{R_1-R_2}·L_F^2$
而$A^2=C_F=\frac{R_1R_2}{R_1-R_2}L_F$ $（!!相當於R_F=\frac{R_1R_2}{R_1-R_2}!!）$，則有：
$S=DL_F+\frac{D^2(R_1-R_2)}{4R_1R_2L_F}·\frac{R_1+R_2}{R_1-R_2}·L_F^2=DL_F+\frac{R_1+R_2}{4R_1R_2}D^2L_F$
$（!!相當於R_F=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}!!）$
上述面積爲卵形曲線外側至邊線組成的面積公式，若是在內側，則：
$S=DL_F-\frac{R_1+R_2}{4R_1R_2}D^2L_F$
這也說明卵形曲線段內左右側（即全寬範圍內）的邊線範圍內的曲線面積爲$2DL_F$，與其他曲線無異，但左右側各不相同。

3、討論

一些參考書上說可以把卵形曲線看成半徑爲$R_F=\frac{R_1R_2}{R_1-R_2}，緩和曲線長爲L_F$的完整緩和曲線，但以此來計算$P_F$是有誤差的。而根據前述面積計算公式，又似乎可以得出$R_F=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$。因此，此種將卵形曲線看成特殊形式的完整緩和曲線是否正確還值得進一步研究論證。