动态规划经典例题-国王的金矿问题

金矿问题

问题概述：
有一位国王拥有5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，
需要参与挖掘的工人人数也不同。例如有的金矿储量是500kg黄金，需 要5个工人来挖掘；有的金矿储量是200kg黄金，需要3个工人来挖 掘…… 如果参与挖矿的工人的总数是10。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能 派出一半人挖取一半的金矿。要求用程序求出，要想得到尽可能多的黄 金，应该选择挖取哪几座金矿？
什么是动态规划：
动态规划：将复杂问题简化为规模较小的子问题，再从简单的子问题自底向上一步一步递推，最终得到复杂问题的最优解
思路：
利用动态规划思想将大问题拆分为一个个小问题，之后一步一步解决问题
例：

如此直至人数为0或者剩余金矿数为0,也就是问题的边界
之后自底向上就可以从小问题的最优解求出整体的最优解，使利益最大化
具体解释与步骤详情参考代码

package algorithm;

/**
 * 动态规划金矿问题
 * 如何在已有人数和金矿收益情况下获得最大的淘金收益
 *  动态规划：将复杂问题简化为规模较小的子问题，
 *      再从简单的子问题自底向上一步一步递推，最终得到复杂问题的最优解
 *  动态规划的要点：
 *      确定全局最优解与最优子结构间的关系
 *      确定问题的边界
 */
public class GoldMining {
    public static void main(String[] args) {
        int w = 10;
        int[] p = {5,5,3,4,3};
        int[] g = {400,500,200,300,350};
        System.out.println("最优收益为："+getBestGoldMining(g.length,w,p,g));
        System.out.println("最优收益为："+getBestGoldMining2(g.length,w,p,g));
        System.out.println("最优收益为："+getBestGoldMining3(g.length,w,p,g));
    }

    /**
     * 此方法采用递归方式计算每种最优子结构的收益情况，递归到问题的边界即可用人数为0，或者剩余矿数为0
     * 缺点：
     *  会进行许多的重复计算，每次都分2种最优子结构，时间复杂度为O(2^n)
     * @param n 总金矿数
     * @param w 总可用人数
     * @param p 每个金矿需要人数
     * @param g 每个金矿的收益
     */
    public static int getBestGoldMining(int n,int w,int[] p,int[] g){
       if(w==0 || n==0){
           return 0;
       }
       //如果当前可用人数不足以挖当前矿，则换个矿,n-1代表当前矿
       if(w<p[n-1]){
           return getBestGoldMining(n-1,w,p,g);
       }
       /**
        * 如果当前矿可以挖，则选取两个最优子结构（挖当前矿，不挖当前矿）中收益高的方法
        * n-1 代表除去当前矿，去后一个矿查看
        * w-p[n-1] 代表挖当前矿后剩下的人数
        */
        return Math.max(getBestGoldMining(n-1,w,p,g),(getBestGoldMining(n-1,w-p[n-1],p,g)+g[n-1]));
    }

    /**
     *  根据自底向上求解的步骤，采用一张表记录计算结果，避免重复计算
     *  时间与空间复杂度都是O(n*w)
     * @param n
     * @param w
     * @param p
     * @param g
     */
    public static int getBestGoldMining2(int n,int w,int[] p,int[] g){
        //使用二维数组表示表，纵轴是金矿信息，横轴是人数信息
        int[][] resultTable = new int[n+1][w+1];
        //填充表格
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= w; j++) {
                //当前人数不足以挖g[i-1]矿，就把获得收益置为0
                if(j<p[i-1]){
                    resultTable[i][j] = 0;
                }else{
                    /**
                     * 可以挖当前矿，取挖矿与不挖矿的最优解
                     * resultTable[i][j]就代表当前矿的最大收益 = max(不挖当前矿去查看之后的收益，挖当前矿查看之后的收入并加上当前矿的收入)
                     * 为什么resultTable[i][j]后面的却是resultTable[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]
                     * 因为当前循环是从1开始的，g中的i-1、p中的i-1都其实代表的是当前矿的信息
                     */
                    resultTable[i][j] = Math.max(resultTable[i-1][j],resultTable[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]);
                }
            }
        }
        //最后一个格子就是最优收益
        return resultTable[g.length][w];
    }
    /**
     * 以上方法的空间复杂度仍有可以优化的余地
     * 根据Math.max(resultTable[i-1][j],resultTable[i-1][j-p[i-1]]+g[i-1]);我们可以发现我们当前的最优解都是根据上一行推导而来
     * 故我们可以只用一行表格来代替整个表格，可以看出每次都是i-1使用左边的数据，所以我们从右边替换数据即可
     * 以下代码我们相当于明面只保留了人数的横座标，实际用两重for循环保证了还是二维的表格，只是节省了空间
     */
    public static int getBestGoldMining3(int n,int w,int[] p,int[] g){
        int[] resultTable = new int[w+1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = w; j >=1; j--) {
                if(j>=p[i-1]){
                    //左边的resultTable[j]是i号金矿时的收益，而右边则相当于是i-1号矿收益因为还未被覆盖
                    resultTable[j] = Math.max(resultTable[j],resultTable[j-p[i-1]]+g[i-1]);
                }
            }
        }
        return resultTable[w];
    }
}