基於Python實現對求解最長迴文子串的動態規劃算法
1、題目
給定一個字符串 s，找到 s 中最長的迴文子串。你可以假設 s 的最大長度爲1000。
示例 1：
輸入: "babad"
輸出: "bab"
注意: "aba"也是一個有效答案。
示例 2：
輸入: "cbbd"
輸出: "bb"
2、求解
對於暴力求解在這裏就不再驁述了，着重介紹如何利用動態規劃算法進行求解。
關於動態規劃的含義及用法，請參考：https://www.sohu.com/a/153858619_466939
這篇文章通過漫畫的形式對動態規劃算法進行了詳細而又有風趣的介紹。值得一看。
2.1 算法一
利用常規動態規劃算法，即利用表來存儲每一中迴文子串的可能。
基於動態規劃的三要素對問題進行分析，可確定以下的狀態轉換方程：
其中f(i,j)表示當s[i:j]子串是否是迴文串。當j-i<=1時，如果s[i] == s[j]則表示s[i:j]爲迴文串，及f(i,j) = true，否則f(i,j) = false。當j-i > 1時，則判斷 s[i]、s[j]是否相等以及f(i+1, j-1)是否爲true，即s[i+1:j-1]是否爲迴文串，如果爲真，則f(i,j) = true
所以就需要一個n*n的二維矩陣用於存儲f(i,j)的值，其中 j in range(0, k)，i in range(0, j+1)，之所以是j+1是因爲i可以等於j。
python3代碼如下：
k = len(s) # 計算字符串的長度
matrix = [[0 for i in range(k)] for i in range(k)] # 初始化n*n的列表
logestSubStr = "" # 存儲最長迴文子串
logestLen = 0 # 最長迴文子串的長度
for j in range(0, k):
for i in range(0, j+1):
if j - i <= 1:
if s[i] == s[j]:
matrix[i][j] = 1 # 此時f(i,j)置爲true
if logestLen < j - i + 1: # 將s[i:j]的長度與當前的迴文子串的最長長度相比
logestSubStr = s[i:j+1] # 取當前的最長迴文子串
logestLen = j - i + 1 # 當前最長迴文子串的長度
else:
if s[i] == s[j] and matrix[i+1][j-1]: # 判斷
matrix[i][j] = 1
if logestLen < j - i + 1:
logestSubStr = s[i:j+1]
logestLen = j - i + 1
return logestSubStr
採用當前算法，時間複雜度爲O(n*n)，空間複雜度爲O(n*n)，算法平均耗時大概5~7s
下面介紹空間複雜度爲O(n)的算法。
2.2 算法二
算法二是由算法一改良而來，觀察算法一的執行流程如下：
當j>1時，判斷f(i,j)是否爲迴文子串的操作只與j-1時的的操作相關，即f(i,j) = g(f(i, j-1))，其中j>1，i in range(0, j+1)，所以接下來就變成求解g()函數了。
用nlist存儲j情況下所有的子串是否爲迴文子串的標誌
用olist存儲j-1情況下所有的子串是否爲迴文子串的標誌
那麼olist與nlist的關係是什麼呢？
有上圖可知，nlist[i] = g(olist[i+1])
新的算法如下：
k = len(s)
olist = [0] * k # 申請長度爲n的列表，並初始化
nList = [0] * k # 同上
logestSubStr = ""
logestLen = 0
for j in range(0, k):
for i in range(0, j + 1):
if j - i <= 1:
if s[i] == s[j]:
nList[i] = 1 # 當 j 時，第 i 個子串爲迴文子串
len_t = j - i + 1
if logestLen < len_t: # 判斷長度
logestSubStr = s[i:j + 1]
logestLen = len_t
else:
if s[i] == s[j] and olist[i+1]: # 當j-i>1時，判斷s[i]是否等於s[j]，並判斷當j-1時，第i+1個子串是否爲迴文子串
nList[i] = 1 # 當 j 時，第 i 個子串爲迴文子串
len_t = j - i + 1
if logestLen < len_t:
logestSubStr = s[i:j + 1]
logestLen = len_t
olist = nList # 覆蓋舊的列表
nList = [0] * k # 新的列表清空
return logestSubStr
這樣新算法的空間複雜度就爲O(2n)，即O(n)。算法平均耗時3s左右。而且該算法更符合動態規劃的原理。