數的直徑 hdu 4607Park Visit

這部分理論是在摘抄別人的~哈哈

樹的直徑(Diameter)是指樹上的最長簡單路。

直徑的求法：兩遍BFS (or DFS)

任選一點u爲起點，對樹進行BFS遍歷，找出離u最遠的點v，以v爲起點，再進行BFS遍歷，找出離v最遠的點w。則v到w的路徑長度即爲樹的直徑

*簡單證明

於是原問題可以在O(E)時間內求出關鍵在於證明第一次遍歷的正確性，也就是對於任意點u，距離它最遠的點v一定是最長路的一端。

如果u在最長路上，那麼v一定是最長路的一端。可以用反證法：假設v不是最長路的一端，則存在另一點v’使得(u→v’)是最長路的一部分，於是len(u→v’) > len(u→v)。但這與條件“v是距u最遠的點”矛盾。

如果u不在最長路上，則u到其距最遠點v的路與最長路一定有一交點c，且(c→v)與最長路的後半段重合(why?)，即v一定是最長路的一端

因爲是樹是連通的，所以u必有一條路徑c和最長路徑L相交，len(c)>=1，L被分爲兩部分，一部分l1，一部分l2

假設第一次dfs過後，所求最長路徑lu端不在L上，那麼len（lu）>=len(c)+len(l1)（l1，l2對稱，取l1或者l2都一樣）

len(l2+c+lu)>len(l1+l2),矛盾.

以 hdu 4607 Park Visit 爲例

首先如果k小於等於直徑長度，那麼答案爲k−1。 
如果k大於直徑長度，設直徑長度爲r，那麼答案爲r−1+(k−r)∗2。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

const int Maxn=100110;
int n,etot,vis[Maxn],dis[Maxn],head[Maxn];
struct node  
{
    int to;//某邊從此節點指向的節點
    int next;//之前連接此節點的邊的編號
}edge[Maxn*2];
void Add_edge(int u,int v)
{
    edge[etot].to=v;
    edge[etot].next=head[u];
    head[u]=etot++;
}
int dfs(int n)
{
    int v;
    for(int i=head[n];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        v=edge[i].to;
        if(!vis[v])
        {
            dis[v]=dis[n]+1;
            vis[v]=1;
            dfs(v);
        }
    }
}
int Max_len()
{
    int Max=-1,k=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(dis[i]>Max)
            Max=dis[i],k=i;
    }
    return k;
}
int Get_Len()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[0]=1;
    dis[0]=0;
    dfs(0);
    int k=Max_len();
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[k]=1;
    dis[k]=0;
    dfs(k);
    k=Max_len();
    return dis[k];
}
int main()
{
    int T,q,k,u,v;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&q);
        etot=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=0;i<n-1;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            u--,v--;
            Add_edge(u,v);
            Add_edge(v,u);
        }
        int len=Get_Len();
        for(int i=0;i<q;i++)
        {
            scanf("%d",&k);
            if(k<=len+1)
                printf("%d\n",k-1);
            else
                printf("%d\n",len+(k-len-1)*2);
        }
    }
    return 0;
}