以上內容轉自某大牛博客 http://qing.weibo.com/2126316852/7ebd053433000viz.html
入門一：
首先來玩個遊戲，引用杭電課件上的：
(1) 玩家：2人；
(2) 道具：23張撲克牌；
(3) 規則：
遊戲雙方輪流取牌；
每人每次僅限於取1張、2張或3張牌；
撲克牌取光，則遊戲結束；
最後取牌的一方爲勝者。
想一下。。
首先申明一點，博弈的討論是在大家都玩的最好的情況下討論的。（如果2個玩家智商有差別，那就沒法討論了～～～～開個玩笑哈。）
介紹概念：P點 即必敗點，某玩家位於此點，只要對方無失誤，則必敗；
N點 即必勝點，某玩家位於此點，只要自己無失誤，則必勝。
定理：
一、 所有終結點都是必敗點P（上游戲中，輪到誰拿牌，還剩0張牌的時候，此人就輸了，因爲無牌可取）；
二、所有一步能走到必敗點P的就是N點；
三、通過一步操作只能到N點的就是P點；
自己畫下圖看看。
x ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
pos：P N N N P N N N P N N 。。。
所以若玩家甲位於N點。只要每次把P點讓給對方，則甲必勝；
反之，若玩家甲位於P點，他每次只能走到N點，而只要乙每次把P點讓給甲，甲必敗；
這裏好好理解下；
如果上面的理解的。請解決下面的題目：HDU 1846 2147（注意題目限制內存）（先2道練練手，做不出的話提示：找規律）
接下來介紹Nim遊戲（同樣引用杭電上的，懶的打字）
1.有兩個玩家；
2. 有三堆撲克牌（比如：可以分別是 5，7，9張）；
3. 遊戲雙方輪流操作；
4. 玩家的每次操作是選擇其中某一堆牌，然後從中取走任意張；
5.最後一次取牌的一方爲獲勝方；
想一會：
還記得剛纔說的P點和N點嗎？P：必敗點，N：必勝點
先給出結論，這裏要用到位運算，異或:^
遊戲的某個位置（x1,x2,x3) x1,x2,x3表示3堆的個數。當且僅當 x1^x2^x3=0時，此點纔是必敗點P；
結論可以推廣到一般情況，即有n堆，(x1,x2,x3,...xn) 當且僅當x1^x2^x3...^xn=0時，此點纔是必敗點P；
如要看證明過程，鏈接在此 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617，看不懂的可以問 我（汗。。）
練習：HDU 2188 2149 （做不出的話先看下面的，然後多思考）
下面介紹sg函數（解決博弈問題的王道）
sg 即Graph Game，把博弈遊戲抽象成有向無環圖
(1) 有向無環圖
(2) 玩家1先移動，起點是x0
(3) 兩個玩家輪流移動
(4) 對於頂點x, 玩家能夠移動到的頂點集記爲F(x).
(5) 不能移動的玩家會輸掉遊戲
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
定義: 一個圖的Sprague-Grundy函數(X,F)是定義在X上的非負函數g(x)，並且滿足：
g(x) = mex{g(y) : y∈F(x)}
看到這裏先好好理解一下sg值是怎麼求的；
如果在取子游戲中每次只能取{1,2,3}，那麼各個數的SG值是多少？
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. . .
g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2. . .
看看這個和上面那個圖的規律：
P-點: 即令 g(x) = 0 的 x 點！
N-點: 即令 g(x) > 0 的 x 點！
練習 HDU 1847 1849 1850 （做不出的話先看下面的，然後多思考）
最後看下組合博弈，就是把簡單的遊戲組合起來，比如3堆的可以看成3個一堆的遊戲。
定理：
假設遊戲 Gi的SG函數是gi, i=1,…,n, 則
G = G1 … Gn 的 SG函數是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).
其中那個符合就是異或^
看看是不是和Nim遊戲的結論差不多？
如果想理解原理鏈接在此：http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html
看完以上的，做完以下的練習。能理解完基本差不多可以算入門了：
HDU 1848 1517 1536（做不出就思考，思考，多看幾遍）
上一期的文章裏我們仔細研究了Nim遊戲，並且瞭解了找出必勝策略的方法。但如果把Nim的規則略加改變，你還能很快找出必勝策略嗎？比如說：有n堆石子，每次可以從第1堆石子裏取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裏取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裏取任意顆……這時看上去問題複雜了很多，但相信你如果掌握了本節的內容，類似的千變萬化的問題都是不成問題的。
現在我們來研究一個看上去似乎更爲一般的遊戲：給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認爲是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是說，任何一個ICG都可以通過把每個局面看成一個頂點，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個“有向圖遊戲”。下面我們就在有向無環圖的頂點上定義Sprague-Garundy函數。
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Garundy函數g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼}。
來看一下SG函數的性質。首先，所有的terminal position所對應的頂點，也就是沒有出邊的頂點，其SG值爲0，因爲它的後繼集合是空集。然後對於一個g(x)=0的頂點x，它的所有後繼y都滿足g(y)!=0。對於一個g(x)!=0的頂點，必定存在一個後繼y滿足g(y)=0。
以上這三句話表明，頂點x所代表的postion是P-position當且僅當g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定義的那三句話是完全對應的）。我們通過計算有向無環圖的每個頂點的SG值，就可以對每種局面找到必勝策略了。但SG函數的用途遠沒有這樣簡單。如果將有向圖遊戲變複雜一點，比如說，有向圖上並不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任選一顆進行移動，這時，怎樣找到必勝策略呢？
讓我們再來考慮一下頂點的SG值的意義。當g(x)=k時，表明對於任意一個0<=i<k，都存在x的一個後繼y滿足g(y)=i。也就是說，當某枚棋子的SG值是k時，我們可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。不知道你能不能根據這個聯想到Nim遊戲，Nim遊戲的規則就是：每次選擇一堆數量爲k的石子，可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這表明，如果將n枚棋子所在的頂點的SG值看作n堆相應數量的石子，那麼這個Nim遊戲的每個必勝策略都對應於原來這n枚棋子的必勝策略！
對於n個棋子，設它們對應的頂點的SG值分別爲(a1,a2,...,an)，再設局面(a1,a2,...,an)時的Nim遊戲的一種必勝策略是把ai變成k，那麼原遊戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到一個SG值爲k的頂點。這聽上去有點過於神奇——怎麼繞了一圈又回到Nim遊戲上了。
其實我們還是隻要證明這種多棋子的有向圖遊戲的局面是P-position當且僅當所有棋子所在的位置的SG函數的異或爲0。這個證明與上節的Bouton's Theorem幾乎是完全相同的，只需要適當的改幾個名詞就行了。
剛纔，我爲了使問題看上去更容易一些，認爲n枚棋子是在一個有向圖上移動。但如果不是在一個有向圖上，而是每個棋子在一個有向圖上，每次可以任選一個棋子（也就是任選一個有向圖）進行移動，這樣也不會給結論帶來任何變化。
所以我們可以定義有向圖遊戲的和(Sum of Graph Games)：設G1、G2、……、Gn是n個有向圖遊戲，定義遊戲G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，遊戲G的移動規則是：任選一個子遊戲Gi並移動上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是說，遊戲的和的SG函數值是它的所有子游戲的SG函數值的異或。
再考慮在本文一開頭的一句話：任何一個ICG都可以抽象成一個有向圖遊戲。所以“SG函數”和“遊戲的和”的概念就不是侷限於有向圖遊戲。我們給每個ICG的每個position定義SG值，也可以定義n個ICG的和。所以說當我們面對由n個遊戲組合成的一個遊戲時，只需對於每個遊戲找出求它的每個局面的SG值的方法，就可以把這些SG值全部看成Nim的石子堆，然後依照找Nim的必勝策略的方法來找這個遊戲的必勝策略了！
回到本文開頭的問題。有n堆石子，每次可以從第1堆石子裏取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裏取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裏取任意顆……我們可以把它看作3個子遊戲，第1個子遊戲只有一堆石子，每次可以取1、2、3顆，很容易看出x顆石子的局面的SG值是x%4。第2個子遊戲也是隻有一堆石子，每次可以取奇數顆，經過簡單的畫圖可以知道這個遊戲有x顆石子時的SG值是x%2。第3個遊戲有n-2堆石子，就是一個Nim遊戲。對於原遊戲的每個局面，把三個子游戲的SG值異或一下就得到了整個遊戲的SG值，然後就可以根據這個SG值判斷是否有必勝策略以及做出決策了。其實看作3個子遊戲還是保守了些，乾脆看作n個子遊戲，其中第1、2個子遊戲如上所述，第3個及以後的子游戲都是“1堆石子，每次取幾顆都可以”，稱爲“任取石子游戲”，這個超簡單的遊戲有x顆石子的SG值顯然就是x。其實，n堆石子的Nim遊戲本身不就是n個“任取石子游戲”的和嗎？
所以，對於我們來說，SG函數與“遊戲的和”的概念不是讓我們去組合、製造稀奇古怪的遊戲，而是把遇到的看上去有些複雜的遊戲試圖分成若干個子游戲，對於每個比原遊戲簡化很多的子游戲找出它的SG函數，然後全部異或起來就得到了原遊戲的SG函數，就可以解決原遊戲了。這種“分而治之”的思想在下一節介紹的“翻硬幣遊戲”中將被應用得淋漓盡致。還是敬請期待。
例題：hdu 1536 S-Nim
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
int a[110];
int sg[10010];
int n;
int GetSg(int v)
{
int hash[110]={0};//用於尋找最小的SG值做標記
int temp;
for(int i=0;i<n;i++)
{
temp=v-a[i];
if(temp<0)
break;
if(sg[temp]==-1)//尋找最小的SG數
{
sg[temp]=GetSg(temp);
}
hash[sg[temp]]=1;//爲後繼點加上標記
}
for(int i=0;;i++)//找到每一個SG［i］的最小SG值
{
if(hash[i]==0)
return i;
}
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n),n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);//能取的數
sort(a,a+n);
memset(sg,-1,sizeof(sg));
sg[0]=0;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int m,v,ans=0;
scanf("%d",&m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d",&v);
sg[v]=GetSg(v);
ans^=sg[v];
}
if(ans==0) printf("L");
else printf("W");
}
printf("\n");
}
}
其他例題: hdu 1848....