基本概念
B+树是B树的变种,常用于数据库和操作系统的文件系统中。由于B+树的非叶节点只存有其子树的的索引,而真正的数据元素都在同一层,即都在叶节点上,所以其插入与删除元素具有稳定的对数时间复杂度。对于一棵m阶的B+树(m代表子树的最大数量),有如下特性:
- 每个节点至多有m个子树
- 除根结点外,每个结点至少有[m/2]个子女,根结点至少有两个子女
- 有k个子女的结点必有k个关键字
实例讲解
对B+树的插入和删除操作可以遵循以下口诀:
以4阶B+树为例,假设非叶节点保存的关键字是子节点的最大值。
在插入新元素的过程中,如果插入的元素小于该节点的最大值且未过饱和,插入结束(实例1);若插入的元素为该节点的最大值,这种情况只会发生在处于兄弟子树最右侧的节点,需要替换父类中相应的关键字(实例2);如插入元素后该节点过饱和,则该节点分裂成两个,并更新父节点的关键字(实例3)。
删除元素可以分成3种情况:如果删除的元素小于所处节点的最大值,删除操作结束(实例4);如果删除的元素时所处节点的最大值,则需要更新父节点的关键字(实例5);如果所处节点删除该元素后元素数量小于2,则需要与兄弟节点合并,并更新父节点的关键字(实例6)。
如果看过我的【B树操作】实例讲解插入、删除元素 作可以遵循以下口诀,可以发现与之相比,B+树的口诀少了“上溢”和“下移”两个概念,因为在B+树中全部元素都是保存在同一层(叶节点)的,如果过饱和或元素数量不足都是横向拓展或收缩,只有在非叶节点记录的关键字数量过饱和时才会向上溢出。
实例1
在插入7的过程中,7小于8,进入(3,6,8)得到(3,6,7,8),不需要更新父节点的关键字,插入操作结束。
实例2
在插入70到(57,60,63)的过程中,因为70 比63大,所以插入70后节点变成(57,60,63,70),且更新父节点相对应的关键字63为70。
实例3
向节点(46,47,52,55)插入元素54后得到过饱和的(46,47,52,54,55),需要分裂成(46,47,52)和(54,55)两个节点,并将两个新节点的关键字替换掉父节点原本的55,使父节变成(28,43,52,55,70),此时父节点又达到过饱和,所以继续相似的操作,父节点也分裂得到(28,43,52)和(55,70),并更新根节点为(13,52,70)。
实例4
6不是所处节点的最大值,删除后不需要更新父节点关键字,删除操作结束。
实例5
在删除元素8时,节点(3,6)的最大值换成6,需要更新父节点的关键字。思考一下:在B树的删除操作中,我们总想向上接元素,但是在B+树里,每个关键字对应一个子树,所以只要子树数量不变,对父节点的影响就只是更新关键字。
实例6
删除元素30后,节点(43) 元素数量少于2所以需要和左边的兄弟节点合并并更新父节点中的关键字。
总结
相较于B树而言,插入或删除元素的操作都更加简单和直观,归结起来的口诀:
如果你遇到的情况不在上面六种实例中,欢迎私信或留言让我补充~