【B树操作实例】实例讲解插入、删除元素的过程

基本概念

B树又称为平衡多路查找树。对于一棵m阶的B树(m代表子树的最大数量),有如下特性:

  1. 根节点的元素数量至少为1,至多为m-1
  2. 非根节点的元素数量至少为ceil(m/2)-1,至多为m-1(ceil是向上取整)
  3. 根节点若不是叶节点,则至少有2个子树
  4. 叶节点都在同一层

以上信息都可以在百度百科和其他博客查到,本文重点以实例讲解对B树进行插入、删除元素的操作。

 

实例讲解

插入和删除操作可以遵循以下口诀:

插入的操作应该都在叶节点进行,当插入元素后该叶节点没有过饱和,插入操作结束(实例1);若达到过饱和,就将当前叶节点分裂成两个节点,把中间元素向上传递到父节点(实例2)。

删除的操作可能在叶节点或非叶节点发生,删除非叶节点的元素时,将其两个子树合并成为一个节点(实例3);删除叶节点的元素时,如果没有剩余的数量仍大于等于ceil(m/2)-1,删除操作结束(实例4);如小于,则将父节点对应的元素下移进该节点,此时相当于删除了父节点(非叶节点)的元素,需要将两个子树合并成为一个节点(实例5);在删除元素时,合并子树得到的新节点如果过饱和,需要进行分裂上溢(实例6)。

接下来以5阶B树,举例说明。

 

实例1

 

向叶节点(7,8)插入元素9之后,叶节点(7,8,9)还没饱和,插入操作结束。

实例2

向叶节点(22,24,25,28)插入26后,叶节点(22,24,25,26,28)元素数量大于4(即m-1),分裂成(22,24)和(26,28)两个节点,并把25上溢到(6,10,21,33)得到(6,10,21,25,33),该节点也过饱和了,所以也将分裂成(6,10)和(25,33)两个节点,并把21上溢成为两个节点的父节点。

实例3

从非叶节点(25,33,44)中删除元素33,变为(25,44),且将33的左右子树(26,28)和(38,40)合并成为一个节点(26,28,38,40),该新节点没有过饱和,删除元素过程结束。其实这里也很好理解,因为删除33后该节点只剩2个元树最多只能分割3个子树。

实例4

从叶节点(47,50,53)中删除元素47,删除后该节点的元素数量仍大于2(即ceil(5/2)-1),删除结果结束。

实例5

 从叶节点(22,24)删除元素24后该节点的元素数量少于2(即ceil(5/2)-1),需要向父节点借一个元素并与相邻子树(26,28),本例中向上借到了25,使父节点变成(33,44),并与右边的相邻子树合并成(22,25,26,28),此时自身和父节点都处于平衡状态。

实例6

 实例6是实例5的拓展。节点(38,40)删除了元素40以后,该节点向上借到元素44并于右边的相邻子树合并成节点(38,44,47,50,53),此时该节点过饱和,所以把中间元素47交给父节点,自己分裂成两个节点。

 

总结

在对B树操作的过程中遵循前面提到的口诀:

如果你遇到的情况不在上面六种实例中,欢迎私信或留言让我补充~

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