大地測量學小程序分享

大地測量學中的一些簡單變換

經過兩個多月的學習，對大地測量學的知識有了一定的瞭解，課堂上老師也佈置了一些簡單的任務，在這裏把自己的一些成果和經驗和大家分享一下，希望對將要接觸或正在學習本學科的同學有所幫助。
在這節課的第一個任務就是子午線於卯酉線曲率半徑的描繪。MATLAB代碼如下：

a=6378137;
b=6356752.3142;
e=sqrt((a^2-b^2)/a^2);
a1=0:0.01:90;
a1=pi/180*a1;
W=sqrt(1-e^2*sin(a1).^2);
M=a*(1-e^2)./W.^3;
N=a./W;
R=sqrt(M.*N);
plot(a1,M,a1,N,a1,R);
xlabel('緯度');
ylabel('長度');
title('曲率半徑');
legend('子午線曲率半徑','卯酉線曲率半徑','平均曲率半徑');

得到如下圖象：

之後又學習了高斯變換，通過大地座標（B，L）->高斯投影(X，Y)的變換，MATLAB代碼如下：

pi=3.1415926535898;
B=-pi/2:0.01:pi/2;
l=-pi/60:0.01:pi/60;
[B,l]=meshgrid(B,l);
a=6378137;
b=6356752.3142;
e1=sqrt((a^2-b^2)/a^2);
e2=sqrt((a^2-b^2)/b^2);
t=tan(B);
n=sqrt(e2^2.*cos(B).^2);
W=sqrt(1-e1^2*sin(B).^2);
M=a*(1-e1^2)./W.^3;
N=a./W;
m0=a*(1-e1^2);
m2=3/2*e1^2*m0;
m4=5/4*e1^2*m2;
m6=7/6*e1^2*m4;
m8=9/8*e1^2*m6;
a0=m0+m2/2+3/8*m4+5/16*m6+35/128*m8;
a2=m2/2+m4/2+15/32*m6+7/16*m8;
a4=m4/8+3/16*m6+7/32*m8;
a6=m6/32+m8/16;
a8=m8/128;
%克拉索夫斯基
% X=111134.861.*B/pi*180-16036.480.*sin(2*B)+16.828.*sin(4*B)-0.022.*sin(6*B);
X=a0*B-a2/2*sin(2*B)+a4/4*sin(4*B)-a6/6*sin(6*B)+a8/8.*sin(8*B);
x=X+N./2.*sin(B).*cos(B).*l.^2+N./24.*sin(B).*cos(B).^3.*(5-t.^2+9*n.^2+4*n.^4).*l.^4+N/720.*sin(B).*cos(B).^5.*(61-58*t.^2+t.^4).*l.^6;
y=N.*cos(B).*l+N./6.*cos(B).^3.*(1-t.^2+n.^2).*l.^3+N./120.*cos(B).^5.*(5-18*t.^2+t.^4+14*n.^2-58*n.^2.*t.^2).*l.^5;
subplot(3,1,1);mesh(l,B,x)
xlabel('經差');ylabel('緯度');zlabel('x座標');
subplot(3,1,2);mesh(l,B,y)
xlabel('經差');ylabel('緯度');zlabel('y座標');
subplot(3,1,3);
plot(y,x);
xlabel('y座標');ylabel('x座標');

得到如下的圖像：


可以發現高斯投影的部分規律。
再後來又學習了高斯反算，MATLAB代碼如下：

clc;
clear;
x=6.655021690543837e+06;
y=8.369522497201736e+04;
pi=3.1415926535898;
a=6378137;
b=6356752.3142;
e1=sqrt((a^2-b^2)/a^2);
e2=sqrt((a^2-b^2)/b^2);
m0=a*(1-e1^2);
m2=3/2*e1^2*m0;
m4=5/4*e1^2*m2;
m6=7/6*e1^2*m4;
m8=9/8*e1^2*m6;
a0=m0+m2/2+3/8*m4+5/16*m6+35/128*m8;
a2=m2/2+m4/2+15/32*m6+7/16*m8;
a4=m4/8+3/16*m6+7/32*m8;
a6=m6/32+m8/16;
a8=m8/128;
B0=x/a0;
%B1=(x-(-a2/2*sin(2*B0)+a4/4*sin(4*B0)-a6/6*sin(6*B0)+a8/8.*sin(8*B0)))/a0;
for i=1:2000
    B1=(x-(-a2/2*sin(2*B0)+a4/4*sin(4*B0)-a6/6*sin(6*B0)+a8/8.*sin(8*B0)))/a0;
    if(abs(B1-B0)<10e-10)
        break;
    end
    B0=B1;
end
t0=tan(B0);
n0=sqrt(e2^2.*cos(B0).^2);
W0=sqrt(1-e1^2*sin(B0).^2);
M0=a*(1-e1^2)./W0.^3;
N0=a./W0;
B=B0-t0/(2*M0*N0)*y^2+t0/(24*M0*N0^3)*(5+3*t0^2+n0^2-9*n0^2*t0^2)*y^4-t0/(720*M0*N0^5)*(61+90*t0^2+45*t0^4)*y^6;
L=1/(N0*cos(B0))*y-1/(6*N0^3*cos(B0))*(1+2*t0^2+n0^2)*y^3+1/(120*N0^5*cos(B0))*(5+28*t0^2+24*t0^4+6*n0^2+8*n0^2*t0^2)*y^5;
B= radtoganle(B)
l=radtoganle(L)

其中包含radtoganle函數是自己設置的一個函數，方便觀察結果，內容如下：

function angle = radtoganle(rad)
d=fix(rad*180/pi);
f=fix((rad*180/pi-d)*60);
m=((rad*180/pi-d)*60-f)*60;
%fprintf('%f',(((rad*180/pi-d)*60-f)*60)-m);
%if ((rad*180/pi-d)*60-f)*60-fix(m)>0.98
%    m=m+1;
%end
if m>=60
    m=m-60;
    f=f+1;
end
if f>=60
    f=f-60;
    d=d+1;
end
angle=[d,f,m]; 

最後還做了一個測試函數來檢驗函數的正確性。

pi=3.1415926535898;
B=pi/3;
l=pi/120;
radtoganle(B)
radtoganle(l)
a=6378137;
b=6356752.3142;
e1=sqrt((a^2-b^2)/a^2);
e2=sqrt((a^2-b^2)/b^2);
t=tan(B);
n=sqrt(e2^2.*cos(B).^2);
W=sqrt(1-e1^2*sin(B).^2);
M=a*(1-e1^2)./W.^3;
N=a./W;
m0=a*(1-e1^2);
m2=3/2*e1^2*m0;
m4=5/4*e1^2*m2;
m6=7/6*e1^2*m4;
m8=9/8*e1^2*m6;
a0=m0+m2/2+3/8*m4+5/16*m6+35/128*m8;
a2=m2/2+m4/2+15/32*m6+7/16*m8;
a4=m4/8+3/16*m6+7/32*m8;
a6=m6/32+m8/16;
a8=m8/128;
%克拉索夫斯基
% X=111134.861.*B/pi*180-16036.480.*sin(2*B)+16.828.*sin(4*B)-0.022.*sin(6*B);
X=a0*B-a2/2*sin(2*B)+a4/4*sin(4*B)-a6/6*sin(6*B)+a8/8.*sin(8*B);
x=X+N./2.*sin(B).*cos(B).*l.^2+N./24.*sin(B).*cos(B).^3.*(5-t.^2+9*n.^2+4*n.^4).*l.^4+N/720.*sin(B).*cos(B).^5.*(61-58*t.^2+t.^4).*l.^6;
y=N.*cos(B).*l+N./6.*cos(B).^3.*(1-t.^2+n.^2).*l.^3+N./120.*cos(B).^5.*(5-18*t.^2+t.^4+14*n.^2-58*n.^2.*t.^2).*l.^5;
B0=x/a0;
%B1=(x-(-a2/2*sin(2*B0)+a4/4*sin(4*B0)-a6/6*sin(6*B0)+a8/8.*sin(8*B0)))/a0;
for i=1:2000
    B1=(x-(-a2/2*sin(2*B0)+a4/4*sin(4*B0)-a6/6*sin(6*B0)+a8/8.*sin(8*B0)))/a0;
    if(abs(B1-B0)<10e-10)
        break;
    end
    B0=B1;
end
t0=tan(B0);
n0=sqrt(e2^2.*cos(B0).^2);
W0=sqrt(1-e1^2*sin(B0).^2);
M0=a*(1-e1^2)./W0.^3;
N0=a./W0;
B=B0-t0/(2*M0*N0)*y^2+t0/(24*M0*N0^3)*(5+3*t0^2+n0^2-9*n0^2*t0^2)*y^4-t0/(720*M0*N0^5)*(61+90*t0^2+45*t0^4)*y^6;
l=1/(N0*cos(B0))*y-1/(6*N0^3*cos(B0))*(1+2*t0^2+n0^2)*y^3+1/(120*N0^5*cos(B0))*(5+28*t0^2+24*t0^4+6*n0^2+8*n0^2*t0^2)*y^5;
%rad2deg(B)
%rad2deg(l)
B= radtoganle(B)
l=radtoganle(l)

不過在緯度到達九十度的結果會和應有結果相差較大，會有兩秒左右的差值，這個問題目前還未解決，由於測試集過小，目前函數可能還有其他漏洞，希望有興趣的小夥伴或是大佬能幫忙解決，最後我想說的是如果本篇文章對你的學習有任何幫助那將是我最大的榮幸。