算法#03--详解最小二乘法原理和代码

最小二乘法原理

最小二乘法的目标：求误差的最小平方和，对应有两种：线性和非线性。线性最小二乘的解是closed-form（如下文），而非线性最小二乘没有closed-form，通常用迭代法求解（如高斯牛顿迭代法，本文不作介绍）。

【首先得到线性方程组】

1.概念

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

2.原理

函数原型：

已知：

（x0，y0），（x1，y1）…（xi，yi）…（xn，yn）个点，n>=k。

偏差平方和：

偏差平方和最小值可以通过使偏导数等于零得到：

简化左边等式有：

写成矩阵形式：公式①

将这个范德蒙得矩阵化简后可得到：公式②

也就是说X*A=Y，那么A = (X’*X)-1*X’*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

高斯消元法

【然后解线性方程组，即公式①】

1.概念

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法）（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。

2.原理

3.伪代码

这个算法和上面谈到的有点不同，它由绝对值最大的部分开始做起，这样可以改善算法的稳定性。本算法由左至右地计算，每作出以下三个步骤，才跳到下一列和下一行：

• 定出i列的绝对值最大的一个非0的数，将第i行的值与该行交换，使得该行拥有该列的最大值；
• 将i列的数字除以该数，使得i列i行的数成为1；
• 第(i+1)行以下（包括第(j+1)行）所有元素都转化为0。

所有步骤完成后，这个矩阵会变成一个行梯矩阵，再用代入法就可以求解该方程组。

 i = 1
 j = 1
 while (i ≤ m and j ≤ n) do
   Find pivot in column j, starting in row i    // 从第i行开始，找出第j列中的最大值（i、j值应保持不变）  
   maxi = i
   for k = i+1 to m do
     if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then
       maxi = k   // 使用交换法找出最大值（绝对值最大）
     end if
   end for
   if A[maxi,j] ≠ 0 then  // 判定找到的绝对值最大值是否为零：若不为零就进行以下操作；若为零则说明该列第(i+1)行以下（包括第(i+1)行）均为零，不需要再处理，直接跳转至第(j+1)列第(i+1)行
     swap rows i and maxi, but do not change the value of i   // 将第i行与找到的最大值所在行做交换，保持i值不变（i值记录了本次操作的起始行）
     Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].
     divide each entry in row i by A[i,j]    // 将交换后的第i行归一化（第i行所有元素分别除以A[i,j]）
     Now A[i,j] will have the value 1.
     for u = i+1 to m do    // 第j列中，第(i+1)行以下（包括第(i+1)行）所有元素都减去A[i,j]，直到第j列的i+1行以后元素均为零
       subtract A[u,j] * row i from row u
       Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.
     end for
     i = i + 1   
   end if
   j = j + 1  // 第j列中，第(i+1)行以下（包括第(i+1)行）所有元素均为零。移至第(j+1)列，从第(i+1)行开始重复上述步骤。
 end while

代码

public class CurveFitting {
     ///<summary>
    ///最小二乘法拟合二元多次曲线
    ///例如y=ax+b
    ///其中MultiLine将返回a，b两个参数。
    ///a对应MultiLine[1]
    ///b对应MultiLine[0]
    ///</summary>
    ///<param name="arrX">已知点的x座标集合</param>
    ///<param name="arrY">已知点的y座标集合</param>
    ///<param name="length">已知点的个数</param>
    ///<param name="dimension">方程的最高次数</param>
    public static double[] MultiLine(double[] arrX, double[] arrY, int length, int dimension) {
        int n = dimension + 1;                 //dimension次方程需要求 dimension+1个 系数              
        double[][] Guass = new double[n][n + 1];      
        for (int i = 0; i < n; i++){ //求矩阵公式①
            int j;
            for (j = 0; j < n; j++){
                Guass[i][j] = SumArr(arrX, j + i, length);//公式①等号左边第一个矩阵，即Ax=b中的A
            }
            Guass[i][j] = SumArr(arrX, i, arrY, 1, length);//公式①等号右边的矩阵，即Ax=b中的b
        }        

        return ComputGauss(Guass, n);//高斯消元法
    }

    //求数组的元素的n次方的和，即矩阵A中的元素
    private static double SumArr(double[] arr, int n, int length) {
        double s = 0;
        for (int i = 0; i < length; i++){
            if (arr[i] != 0 || n != 0){
                s = s + Math.pow(arr[i], n);
            }
            else{
                s = s + 1;
            }
        }
        return s;
    }

    //求数组的元素的n次方的和，即矩阵b中的元素
    private static double SumArr(double[] arr1, int n1, double[] arr2, int n2, int length) {
        double s = 0;
        for (int i = 0; i < length; i++)
        {
            if ((arr1[i] != 0 || n1 != 0) && (arr2[i] != 0 || n2 != 0))
                s = s + Math.pow(arr1[i], n1) * Math.pow(arr2[i], n2);
            else
                s = s + 1;
        }
        return s;        
    }

    //高斯消元法解线性方程组
    private static double[] ComputGauss(double[][] Guass, int n) {
        int i, j;
        int k, m;
        double temp;
        double max;
        double s;
        double[] x = new double[n];

        for (i = 0; i < n; i++) {
            x[i] = 0.0;//初始化
        }

        for (j = 0; j < n; j++) {
            max = 0;
            k = j;

            // 从第i行开始，找出第j列中的最大值（i、j值应保持不变）  
            for (i = j; i < n; i++) {
                if (Math.abs(Guass[i][j]) > max){
                    max = Guass[i][j];// 使用交换法找出最大值（绝对值最大）
                    k = i;
                }
            }

            if (k != j) {
                //将第j行与找到的最大值所在行做交换，保持i值不变（j值记录了本次操作的起始行）
                for (m = j; m < n + 1; m++) {
                    temp = Guass[j][m];
                    Guass[j][m] = Guass[k][m];
                    Guass[k][m] = temp;
                }
            }

            if (max == 0) {
                // "此线性方程为奇异线性方程" 
                return x;
            }

            // 第m列中，第(j+1)行以下（包括第(j+1)行）所有元素都减去Guass[j][m] * s / (Guass[j][j])
            //直到第m列的i+1行以后元素均为零
            for (i = j + 1; i < n; i++) {
                s = Guass[i][j];                
                for (m = j; m < n + 1; m++) {
                    Guass[i][m] = Guass[i][m] - Guass[j][m] * s / (Guass[j][j]);                 
                }
            }
        }//结束for (j=0;j<n;j++)

        //回代过程（见公式4.1.5）
        for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
            s = 0;
            for (j = i + 1; j < n; j++) {
                s = s + Guass[i][j] * x[j];
            }
            x[i] = (Guass[i][n] - s) / Guass[i][i];
        }

        return x;
    }//返回值是函数的系数

    public static void main(String[] args)  {
        double[] x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        double[] y = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49};
        double[] a = MultiLine(x, y, 8, 2);

        for(int i =0; i <a.length;i++){
            System.out.println(a[i]);
        }
    }  
}

输出：

0.708333333333342
-0.37500000000000583
1.0416666666666674

取整就得到y=x^2。