0006-數列極限與連續 數列極限 極限公式 連續 間斷點

數列極限

只簡要介紹一個準則:單調有界的數列必有極限

收斂必有界,有界不一定收斂

極限公式

兩個重要極限公式:

\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \\ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

連續

x_0處有極限,在x_0處有定義,極限值 = 函數值,則連續。

連續 \iff 左連續 且 右連續

P.S.:此處與極限不同的一點是,極限不需要在x_0處有定義。因爲極限只是想獲知趨向於什麼,並不是想獲知一定可以到達什麼。就好比,我們預判一個人他可能要摔倒,然後我們伸手扶一下,我們沒必要嚴格分析判斷他100%會摔倒再伸手扶。

間斷點

第一類間斷點

左右極限都存在:可去間斷點、跳躍間斷點

第二類間斷點

左右極限至少一個不存在:振盪間斷點、無窮間斷點

另外,零值定理也很重要。

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