四元數與3D旋轉實例！ Cocos Creator 3D Quaternion !

四元數與3D旋轉實例！ Cocos Creator 3D Quaternion !

用幾個實用的例子帶你理解四元數!

前言

本文不會講太多四元數公式的推導過程，重點講講幾個接口的使用和個人理解。

閱讀本文可能需要一些前置的知識（但不限於這些知識點）：

• 向量 （內積外積/基本運算/幾何意義）
• 座標系（左手系/右手系/世界座標/本地座標）
• 矩陣（平移/旋轉/縮放/模型矩陣/視圖矩陣/投影矩陣）
• 視點和視線（視點/觀察目標/上方向）

https://www.bilibili.com/video/BV1Bt4y1v7R1/

表示3D旋轉一般採用三種方法：

• 矩陣
• 歐拉角
• 四元數

爲什麼使用四元數表示旋轉呢？

• 平滑插值。 (矩陣基本沒有，歐拉角可以做插值，但可能遭遇萬向鎖的問題)
• 快速連接和角位移求逆。
• 能和矩陣快速轉換。
• 僅用四個數。（矩陣9個，歐拉角3個）
• 難以理解，學會了看起來很牛逼。

當然四元數也有一些缺點：

• 四元數可能不合法。（一般通過四元數標準化解決這個問題，確保四元數爲單位四元數）
• 對給定的方位的表達方式有兩種方法，它們相互爲負。（矩陣唯一，歐拉角有無數種）
• 相對難以使用。

實例

構造四元數

四元數的定義這邊就不詳細說了，大概知道就是用四個數字去表達旋轉。

那麼怎麼去構造這個四元數呢？我們從API入手去講解和理解。

旋轉軸和旋轉角

有了旋轉軸和旋轉角，就可以表示旋轉了，那麼四元數也可以通過這個構造出來。

/**
* @zh 根據旋轉軸和旋轉弧度計算四元數
*/
public static fromAxisAngle<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, axis: VecLike, rad: number) {
    rad = rad * 0.5; // 爲什麼要除以2？因爲公式推導出來的！
    const s = Math.sin(rad);
    out.x = s * axis.x;
    out.y = s * axis.y;
    out.z = s * axis.z;
    out.w = Math.cos(rad);
    return out;
}

本地座標軸

根據該物體本地座標軸也能確定旋轉。

/**
* @zh 根據本地座標軸朝向計算四元數，默認三向量都已歸一化且相互垂直
*/
public static fromAxes<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, xAxis: VecLike, yAxis: VecLike, zAxis: VecLike) {
    Mat3.set(m3_1,
        xAxis.x, xAxis.y, xAxis.z,
        yAxis.x, yAxis.y, yAxis.z,
        zAxis.x, zAxis.y, zAxis.z,
    );
    return Quat.normalize(out, Quat.fromMat3(out, m3_1));
}

視口和上方向

根據視口的前方向和上方向，先計算本地座標軸的右向量，再算出本地座標的上向量，最後再構造成四元數。

/**
* @zh 根據視口的前方向和上方向計算四元數
* @param view 視口面向的前方向，必須歸一化
* @param up 視口的上方向，必須歸一化，默認爲 (0, 1, 0)
*/
public static fromViewUp<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, view: VecLike, up?: Vec3) {
    Mat3.fromViewUp(m3_1, view, up);
    return Quat.normalize(out, Quat.fromMat3(out, m3_1));
}

兩向量間的最短路徑旋轉

也可以用一個四元數表示量向量旋轉的最短路徑。

/**
* @zh 設置四元數爲兩向量間的最短路徑旋轉，默認兩向量都已歸一化
*/
public static rotationTo<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (out: Out, a: VecLike, b: VecLike) {
  // 省略代碼實現
}

矩陣/歐拉角

也可以通過其他表示方法轉換爲四元數。

/**
* @zh 根據三維矩陣信息計算四元數，默認輸入矩陣不含有縮放信息
*/
public static fromMat3<Out extends IQuatLike> (out: Out, m: Mat3) {
    // 省略代碼實現
}

/**
* @zh 根據歐拉角信息計算四元數，旋轉順序爲 YZX
*/
public static fromEuler<Out extends IQuatLike> (out: Out, x: number, y: number, z: number) {
    // 省略代碼實現
}

獲取四元數相關信息

上面講了如何去構造，相應的也可以通過四元數獲取相關信息，這裏不細講了含義了，直接看看API吧。

/**
* @zh 獲取四元數的旋轉軸和旋轉弧度
* @param outAxis 旋轉軸輸出
* @param q 源四元數
* @return 旋轉弧度
*/
public static getAxisAngle<Out extends IQuatLike, VecLike extends IVec3Like> (outAxis: VecLike, q: Out) {
    //...
}

/**
* @zh 返回定義此四元數的座標系 X 軸向量
*/
public static toAxisX (out: IVec3Like, q: IQuatLike) {
    //...
}

/**
* @zh 返回定義此四元數的座標系 Y 軸向量
*/
public static toAxisY (out: IVec3Like, q: IQuatLike) {
    //...
}

/**
* @zh 返回定義此四元數的座標系 Z 軸向量
*/
public static toAxisZ (out: IVec3Like, q: IQuatLike) {
    //...
}

/**
* @zh 根據四元數計算歐拉角，返回角度 x, y 在 [-180, 180] 區間內, z 默認在 [-90, 90] 區間內，旋轉順序爲 YZX
* @param outerZ z 取值範圍區間改爲 [-180, -90] U [90, 180]
*/
public static toEuler (out: IVec3Like, q: IQuatLike, outerZ?: boolean) {
   //...
}

實際例子

沒有實戰，單純講API就是耍流氓！直接進入實戰部分！

角色朝向和平滑插值

已知當前點和下一個點，如何求出角色的朝向四元數？

• 先算出前方向
• 根據視口上方向求出四元數

const cur_p = list[index - 1]; // 當前點
const next_p = list[index]; // 最終點
const quat_end = new Quat(); // 最終旋轉四元數
const dir = next_p.clone().subtract(cur_p); // 前向量
// 模型正好朝z軸方向
Quat.fromViewUp(quat_end, dir.normalize(), v3(0, 1, 0)); // 根據視口的前方向和上方向計算四元數  
// 最終旋轉四元數 / 視口面向的前方向 / 視口的上方向

已知起始四元數和終點四元數，如何平滑旋轉？

const tw = tween(this.node_bezier_role); // 使用tween動畫
const quat_start = new Quat();
this.node_bezier_role.getRotation(quat_start); // 獲取起始四元數
const quat_end = new Quat(); // 最終旋轉四元數 假設已經算出
const quat_now = new Quat(); // 用一箇中間變量
tw.to(0.2, {}, {
    onUpdate: (target, ratio: number) => {
        // ratio : 0~1
        // 這裏使用球面插值，旋轉時不會出現變形
        quat_now.set(quat_start).slerp(quat_end, ratio);
        this.node_bezier_role.setRotation(quat_now);
    },
})
tw.start();

將旋轉和移動結合起來就能達到下面這個效果。

觸摸旋轉

關鍵是求出旋轉軸，這邊處理的旋轉軸在 xoy 這個平面上。

//  private onTouchMove(touch: Touch) {
const delta = touch.getDelta();

// 自傳
// 這個物體模型‘錨點’在正中心效果比較好
// 垂直的軸，右手  
//  
//  旋轉軸
//  ↑
//  ---> 觸摸方向
const axis = v3(-delta.y, delta.x, 0); //旋轉軸，根據相似三角形求出
const rad = delta.length() * 1e-2; //旋轉角度
const quat_cur = this.node_touch_rotation_role.getRotation(); //當前的四元數
Quat.rotateAround(this.__temp_quat, quat_cur, axis.normalize(), rad); //當面的四元數繞旋轉軸旋轉
// 旋轉後的結果 / 當前的四元數 / 旋轉軸 / 旋轉四元數
this.node_touch_rotation_role.setRotation(this.__temp_quat);

展示結果如下：

繞軸旋轉

已知旋轉點、旋轉軸、旋轉角度，求旋轉後的位置和朝向。

朝向計算和觸摸旋轉類似，這裏不詳說了。

這邊講講如何計算旋轉後的座標。

• 先計算旋轉點和當前位置點的向量（起始向量）
• 計算旋轉四元數
• 計算起始向量旋轉後的向量
• 計算旋轉後的座標點

//  private onTouchMove(touch: Touch) {
const delta = touch.getDelta();
// 繞軸轉
// 這裏選取軸朝上
const axis2 = Vec3.UP;//旋轉軸
const rad2 = 1e-2 * delta.x; //旋轉角度
// 計算座標
const point = this.node_axi.worldPosition; //旋轉點
const point_now = this.node_touch_axi_role.worldPosition; // 當前點的位置
// 算出座標點的旋轉四元數
Quat.fromAxisAngle(this.__temp_quat, axis2, rad2);
// 計算旋轉點和現有點的向量
Vec3.subtract(this.__temp_v3, point_now, point);
// 計算旋轉後的向量
Vec3.transformQuat(this.__temp_v3, this.__temp_v3, this.__temp_quat)
// 計算旋轉後的點
Vec3.add(this.__temp_v3, point, this.__temp_v3);
this.node_touch_axi_role.setWorldPosition(this.__temp_v3);

// 計算朝向
// 這麼旋轉會按原始的朝向一起旋轉
const quat_now = this.node_touch_axi_role.worldRotation;
Quat.rotateAround(this.__temp_quat, quat_now, axis2, rad2);
Quat.normalize(this.__temp_quat, this.__temp_quat);
this.node_touch_axi_role.setWorldRotation(this.__temp_quat);

最終效果如下。

小結

可以把四元數當作一個工具，想想旋轉可以是用軸角度，本地座標系，或着視角方向構造出來的，再使用相應的接口去實現我們的各種需求。

以上爲白玉無冰使用 Cocos Creator 3D v1.2 實現 "四元數與旋轉" 的技術分享。歡迎分享給身邊的朋友！

參考

• 《WebGL編程指南》
• 《3D數學基礎：圖形與遊戲開發》
• https://docs.cocos.com/creator3d/api/zh/classes/core_math.quat.html
• https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
• https://eater.net/quaternions
• https://github.com/Krasjet/quaternion
• https://forum.cocos.org/t/creator-3d-unity-transfrom-rotatearound-api/85157/5
• https://forum.cocos.org/t/topic/92924/11
• https://forum.cocos.org/t/creator-3d/91299

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