A
要满足向右递减向左递减相当于01，02的分界点，上一行始终在下一行的右侧，转化为不相交路径，套用LGV定理
B
将矩阵看作一个邻接矩阵，于是问题转化成了：请计算有多少个无向图满足所有点的度数都为2
则图应该是有若干个环组成，dp[i]表示有i个点的图的个数，然后可以枚举最后一个点所在环转移
C
\(X_i\)表示灯\(i\)是亮否
求\(E(sum（x_i)^3) = E(\sum X_i X_j X_k)=\sum P(X_i X_j X_k)\)
上面将3次方展开得后式
开关矩阵\(A_{ij}\) 对于任意三个灯泡\(x,y,z\)对应矩阵三列\(A_{kx} A_{ky} A_{kz}\) 得到n*3的矩阵\(B_{ij}\) 则使的x，y，z都为亮着的概率就是从B矩阵行中任取子集使每列异或和为0的概率，子集共有\(2^n\)种，矩阵中的线性无关的行向量总能张成与先行相关向量异或为0的向量，设矩阵的秩为r，则概率就是\(\frac{2^{n - r}}{2^{n}} = \frac{1}{2^r}\)
因为行秩等于列秩，而只有三列，只需要求列秩，枚举即可秩为0，1，2的情况即可
D
图同构，考虑枚举点的映射关系，暴力判断
E
定义dp[i] 代表长度为i的子序列个数。
pre[i][j] 记录长度为i，以j数字结尾的子序列个数。
转移时对于i，枚举dp[j] +dp[j - 1]，此时重复情况为pre[a[i]][j]减去
不断更新pre，pre[a[i]][j] = dp[j - 1];
F
求\(\sum_{x_1 = 1}^{a_1}\sum_{x_2 = 1}^{a_2}...\sum_{x_n = 1}^{a_n} \sum max{x_1,x_2,....x_n}\)
将a排序，对于\(a_{i - 1}< x <= a_i\)，
对于\(a_1 到a_{i - 1}\)可与随便选，方案数为\(\prod_{j = 1}^{i - 1}a_i\)
对于\(a_i到a_n\)，当 \(a_{i - 1} + 1< x <= a_i\) 需要保证\(a_i到a_n\)中至少一个为x，容斥得方案数\(\sum_{j = 1}^{n - i + 1}C_{n - i + 1}^{j} (-1)^{j - 1} * x^{n - i + 1 - j} =x^{n - i + 1} -(x - 1)^{n - i + 1}\) 总方案数为前后两部分乘积
则对于x的答案为\((\prod_{j = 1}^{i - 1}a_i)* \sum_{j = 1}^{n - i + 1} x * C_{n - i + 1}^{j} (-1)^{j - 1} * x^{n - i + 1 - j} =x^{n - i + 1} -(x - 1)^{n - i + 1}\)
对于后半部分另
$g(a_i) = \sum_{x = 1} ^ {a_i}x*(x^{n - i + 1}-(x - 1)^{n - i + 1}) $
则后半部分为\(g(a_i) - g(a_{i - 1})\)
对于\(g(a_i)\)最高项为\(n - i\)则其对应一个\(n - i + 1\)的多项式，只需要求出\(n-i+2\)点值后插值可得到\(g(a_i)\)
G
斯坦纳树
等会写
H
treedp+斜率优化
等会写
J
莫队暴力