贝尔数--ex
定义贝尔数 wn， 表示把 n 个有区别的球放到若干个无区别的盒子里的方案数， 也就是把集合 {1,...,n} 划分成若干 （1 ... n） 个不相交非空子集的方案数。
递推式， 考虑枚举 1 所在的子集的大小， 即：
\[\begin{align}
w_n &= \sum_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1}w_{n-i} + [n = 0]
\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1}{i}w_{(n-1)-i} + [n = 0]
\end{align}
\]
等号右边就是 {wn} 和 {1} 二项卷积的第 n - 1 项加个 [n = 0] 的东西，设 W(z) 为 {wn} 的 EGF， 那么有：
\[\begin{align}
W(z) &= 1 + e^zW(z).shift.right
\\
&= 1 + \int e^zW(z){\rm d}z
\end{align}
\]
两边求导：
\[\begin{align}
W'(z) &= e^zW(z)
\\
\frac{W'(z)}{W(z)} &= e^z
\end{align}
\]
左边那个显然就是 \(\ln'(W(z))W'(z) = (\ln W(z))'\)
于是两边不定积分：
\[\ln W(z) = C + e^z
\]
对于常数 C， 可以在上式带入 z = 0， 得到 0 = C + 1， 即 C = -1。
于是有：
\[\ln W(z) = e^z - 1
\\
W(z) = e^{e^z - 1}
\]
组合意义：\(A(z) = e^z - 1\)， 即非空子集的 EGF，
\[e^{A(z)} = \sum_{i = 0} \frac 1{i!} A(z)^i
\]
再次考虑二项卷积的意义， 两个方案数相乘， 再乘个组合数……
\(\dbinom ni a_i*b_{n-i}\)， 稍稍翻译一下就是把 n 个标号选出 i 个分给 a， 再把剩下的分给 b， 然后剩下的就是拼接了。这是有标号对象的拼接。对象是序列的时候，还带有混合的意义。
那么 A(z)i 就是 i 个非空子集的有序拼接，顺便把标号（在这里是元素）分配完了， 要变成无序拼接就乘个 \(\dfrac 1{i!}\)。
于是答案的 EGF 就是 \(e^{A(z)}\)。