SP5971 LCMSUM - LCM Sum(歐拉函數，公式推導)

SP5971 LCMSUM - LCM Sum

題意：求

推式子

∑ i = 1 n l c m ( i , n ) ∑ i = 1 n i n g c d ( i , n ) n ∑ i = 1 n i g c d ( i , n ) n ∑ d ∣ n ∑ i = 1 n i d [ g c d ( i , n ) = d ] n ∑ d ∣ n ∑ i = 1 n d i [ g c d ( i , n d ) = 1 ] n ∑ d ∣ n ( ϕ ( d ) + [ d = 1 ] ) × d 2 \sum_{i=1}^nlcm(i,n)\\ \sum_{i=1}^n\frac {in}{gcd(i,n)}\\ n\sum_{i = 1} ^{n} \frac{i}{gcd(i, n)}\\ n\sum_{d \mid n} \sum_{i = 1} ^{n} \frac{i}{d}[gcd(i, n) = d]\\ n\sum_{d \mid n} \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} i[gcd(i, \frac{n}{d}) = 1]\\ n\sum_{d \mid n} \frac{(\phi(d) + [d = 1]) \times d}{2} i=1∑n​lcm(i,n)i=1∑n​gcd(i,n)in​ni=1∑n​gcd(i,n)i​nd∣n∑​i=1∑n​di​[gcd(i,n)=d]nd∣n∑​i=1∑dn​​i[gcd(i,dn​)=1]nd∣n∑​2(ϕ(d)+[d=1])×d​

第一個式子就是問題；
第二個式子就是把 l c m lcm lcm拆開；
第三個式子就是把常數n提出去；
第四個式子就是枚舉一下n的全部因子，就可以化成第四個式子的樣子；
第五個式子就是把d從 [ [ g c d ( i , n ) = d ] [[gcd(i,n)=d] [[gcd(i,n)=d]裏面提出去，然後取值範圍，枚舉的數 i d \frac id di​變成 i i i和 [ g c d ( i , n ) = d ] [gcd(i,n)=d] [gcd(i,n)=d]變成 [ g c d ( i , n d ) = 1 ] [gcd(i,\frac nd)=1] [gcd(i,dn​)=1]；
第六個式子就是利用歐拉函數的一個性質： 如 果 g c d ( i , n ) = 1 ， 則 g c d ( n − i , n ) = 1 ( i ≠ 1 ) 如果gcd(i,n)=1，則gcd(n-i,n)=1(i\neq1) 如果gcd(i,n)=1，則gcd(n−i,n)=1(i​=1)，然後就可以化成第六個式子了；
結束

C o d e Code Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
typedef long long ll;
ll st[N], p[N], phi[N], sum[N], ans[N], tot;
//phi：歐拉函數，sum函數第六個公式中的歐拉函數phi*d，ans是存放答案的數組；
void init() {
   
   
    phi[1] = 1, st[1] = 1, sum[1] = 1;//sum[1]=1,把d=1的情況考慮了進去
    for(int i=2; i<N; i++) {
   
   
        if(!st[i]) p[tot++] = i, phi[i] = i-1, sum[i] = 1ll*phi[i]*i/2;
        for(int j=0; j<tot&&i*p[j]<N; j++) {
   
   
            st[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
   
   
                phi[i*p[j]] = phi[i]*p[j];
                sum[i*p[j]] = 1ll*phi[i*p[j]]*(i*p[j])/2; 
                break;
            }
            phi[i*p[j]] = phi[i]*(p[j]-1);
            sum[i*p[j]] = 1ll*phi[i*p[j]]*(i*p[j])/2; 
        }
    }
    //類埃氏篩，把n的全部因子d加起來ans[n]+=sum[d];
    for(int i=1; i<N; i++) {
   
   
        for(int j=i; j<N; j+=i)
        ans[j] += sum[i];
    }
}
inline ll read() {
   
   //快讀
    ll x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
   
   
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
   
   
        x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}

int main() {
   
   
    init();//初始化
    ll t;
    t = read();
    while(t--) {
   
   
        int n;
        n = read();
        printf("%lld\n", ans[n]*n);
    }
    return 0;
}

End