子序列問題是常見的算法問題，而且並不好解決。
首先，子序列問題本身就相對子串、子數組更困難一些，因爲前者是不連續的序列，而後兩者是連續的，就算窮舉你都不一定會，更別說求解相關的算法問題了。
而且，子序列問題很可能涉及到兩個字符串，比如前文「最長公共子序列」，如果沒有一定的處理經驗，真的不容易想出來。所以本文就來扒一扒子序列問題的套路，其實就有兩種模板，相關問題只要往這兩種思路上想，十拿九穩。
一般來說，這類問題都是讓你求一個最長子序列，因爲最短子序列就是一個字符嘛，沒啥可問的。一旦涉及到子序列和最值，那幾乎可以肯定，考察的是動態規劃技巧，時間複雜度一般都是 O(n^2)。
原因很簡單，你想想一個字符串，它的子序列有多少種可能？起碼是指數級的吧，這種情況下，不用動態規劃技巧，還想怎麼着？
既然要用動態規劃，那就要定義 dp 數組，找狀態轉移關係。我們說的兩種思路模板，就是 dp 數組的定義思路。不同的問題可能需要不同的 dp 數組定義來解決。
一、兩種思路
1、第一種思路模板是一個一維的 dp 數組：
int n = array.length;
int[] dp = new int[n];
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
dp[i] = 最值(dp[i], dp[j] + ...)
}
}舉個我們寫過的例子「最長遞增子序列」，在這個思路中 dp 數組的定義是：
在子數組 array[0..i] 中，我們要求的子序列（最長遞增子序列）的長度是 dp[i]。
爲啥最長遞增子序列需要這種思路呢？前文說得很清楚了，因爲這樣符合歸納法，可以找到狀態轉移的關係，這裏就不具體展開了。
2、第二種思路模板是一個二維的 dp 數組：
int n = arr.length;
int[][] dp = new dp[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (arr[i] == arr[j])
dp[i][j] = dp[i][j] + ...
else
dp[i][j] = 最值(...)
}
}這種思路運用相對更多一些，尤其是涉及兩個字符串/數組的子序列，比如前文講的「最長公共子序列」。本思路中 dp 數組含義又分爲「只涉及一個字符串」和「涉及兩個字符串」兩種情況。
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2.1 涉及兩個字符串/數組時（比如最長公共子序列），dp 數組的含義如下：
在子數組 arr1[0..i] 和子數組 arr2[0..j] 中，我們要求的子序列（最長公共子序列）長度爲 dp[i][j]。
2.2 只涉及一個字符串/數組時（比如本文要講的最長迴文子序列），dp 數組的含義如下：
在子數組 array[i..j] 中，我們要求的子序列（最長迴文子序列）的長度爲 dp[i][j]。
第一種情況可以參考這兩篇舊文：「編輯距離」「公共子序列」
下面就借最長迴文子序列這個問題，詳解一下第二種情況下如何使用動態規劃。
二、最長迴文子序列
之前解決了「最長迴文子串」的問題，這次提升難度，求最長迴文子序列的長度：
我們說這個問題對 dp 數組的定義是：在子串 s[i..j] 中，最長迴文子序列的長度爲 dp[i][j]。一定要記住這個定義才能理解算法。
爲啥這個問題要這樣定義二維的 dp 數組呢？我們前文多次提到，找狀態轉移需要歸納思維，說白了就是如何從已知的結果推出未知的部分，這樣定義容易歸納，容易發現狀態轉移關係。
具體來說，如果我們想求 dp[i][j]，假設你知道了子問題 dp[i+1][j-1] 的結果（s[i+1..j-1] 中最長迴文子序列的長度），你是否能想辦法算出 dp[i][j] 的值（s[i..j] 中，最長迴文子序列的長度）呢？
可以！這取決於 s[i] 和 s[j] 的字符：
如果它倆相等，那麼它倆加上 s[i+1..j-1] 中的最長迴文子序列就是 s[i..j] 的最長迴文子序列：
如果它倆不相等，說明它倆不可能同時出現在 s[i..j] 的最長迴文子序列中，那麼把它倆分別加入 s[i+1..j-1] 中，看看哪個子串產生的迴文子序列更長即可：
以上兩種情況寫成代碼就是這樣：
if (s[i] == s[j])
// 它倆一定在最長迴文子序列中
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else
// s[i+1..j] 和 s[i..j-1] 誰的迴文子序列更長？
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);至此，狀態轉移方程就寫出來了，根據 dp 數組的定義，我們要求的就是 dp[0][n - 1]，也就是整個 s 的最長迴文子序列的長度。
三、代碼實現
首先明確一下 base case，如果只有一個字符，顯然最長迴文子序列長度是 1，也就是 dp[i][j] = 1 (i == j)。
因爲 i 肯定小於等於 j，所以對於那些 i > j 的位置，根本不存在什麼子序列，應該初始化爲 0。
另外，看看剛纔寫的狀態轉移方程，想求 dp[i][j] 需要知道 dp[i+1][j-1]，dp[i+1][j]，dp[i][j-1] 這三個位置；再看看我們確定的 base case，填入 dp 數組之後是這樣：
爲了保證每次計算 dp[i][j]，左下右方向的位置已經被計算出來，只能斜着遍歷或者反着遍歷：
我選擇反着遍歷，代碼如下：
int longestPalindromeSubseq(string s) {
int n = s.size();
// dp 數組全部初始化爲 0
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
// base case
for (int i = 0; i < n; i++)
dp[i][i] = 1;
// 反着遍歷保證正確的狀態轉移
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
// 狀態轉移方程
if (s[i] == s[j])
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
// 整個 s 的最長迴文子串長度
return dp[0][n - 1];
}至此，最長迴文子序列的問題就解決了。
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