rsa公鑰密碼和簽名含C語言代碼

RSA是目前使用最廣泛的公鑰密碼體制之一。它是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。
RSA算法的安全性基於RSA問題的困難性，也就是基於大整數因子分解的困難性上。但是RSA問題不會比因子分解問題更加困難，也就是說，在沒有解決因子分解問題的情況下可能解決RSA問題，因此RSA算法並不是完全基於大整數因子分解的困難性上的。
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1.歐拉函數

什麼是歐拉函數
　　歐拉函數是小於x的整數中與x互素的數的個數，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1.
如何計算歐拉函數
　　通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn爲n的所有素因數，n是不爲0的整數.
歐拉函數的一些性質　　
　　1. 對於素數p，φ§=p−1　　2. 若p爲素數，n=p^{k，則φ(n)=p}k-p^(k-1) 　　3. 歐拉函數是積性函數，但不是完全積性函數；若m,n互素，則φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，特殊的，當m=2，n爲奇數時，φ(2

n)=φ(n)　　4. 當n>2時，φ(n)是偶數　　5. 小於n的數中，與n互素的數的總和爲：φ(n) * n / 2 (n>1)　　6. n=∑d∣n​φ(d)，即n的因數（包括1和它自己）的歐拉函數之和等於n

歐拉定理

歐拉定理是指：如果兩個正整數a和n互素，則n的歐拉函數φ(n)可以讓下面的式子成立：

即a的φ(n)次方減去1，可以被n整除. 比如，3和4互質，φ(4)=2，(3^2-1)/4=2. 當a爲正整數，n爲素數且a不能被n整除時，則有　　　　　　　　　　　a^(n-1) ≡ 1 (mod n)這就是費馬小定理.

模反元素

如果兩個正整數a和n互素，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1. 這時，b就叫做a對模數n的模反元素.

歐拉定理可以用來證明模反元素必然存在，如下圖，可以看到：a的 φ(n)-1 次方，就是a對模數n的模反元素.

RSA算法

5.1 密鑰的生成過程

1. 隨意選擇兩個大的素數p和q，p不等於q，計算n = pq.
2. 根據歐拉函數的性質3，求得r=φ(n)=φ§φ(q)=(p-1)(q-1).
3. 選擇一個小於r的整數e,且e與r互素；並求得e關於r的模反元素，命名爲d.(模反元素存在，當且僅當e與r互質; 求d令ed≡1(mod r)）
4. 將p和q的記錄銷燬
   　　其中(n，e)是公鑰，(n，d)是私鑰. 例如：
   
5. A隨機選兩個不相等的質數61和53，並計算兩數的積n=61*53=3233，n的長度就是密鑰長度。3233的二進制是110010100001，一共12位，
   所以這個密鑰就是12位. 實際應用中，RSA密鑰一般是1024位，重要的場合是2048位.
   
6. 計算n的歐拉函數; φ(n)=(p-1)(q-1)=60*52=3120.
7. A在1到3120上隨機選擇了一個隨機數e=17，與3120互素.
8. 計算e對φ(n)的模反元素d，即時，ed-1=kφ(n)。
   即使求解：17x+3120y=1.用擴展歐幾里得算法求解。可以算出一組解(x,y)=(2753,-15)，即d=2753. 公鑰(3233, 17)，私鑰(3233,2753)
   　　至此完成計算.5.2 RSA的可靠性　　　　在RSA私鑰和公鑰生成的過程中，共出現過p,q,n,φ(N),e,d，其中n,e組成公鑰，其他的都不是公開的，一旦d泄露，就等於私鑰泄露;　　那麼能不能根據n,e推導出d呢？　　　　1. ed ≡ 1(mod φ(n)) 只有知道e和φ(n)，才能算出d 　　　　2. φ(n)=(p-1)(q-1) 只有知道p和q,才能算出φ(n）　　　　3. n=pq,只有將n分解才能算出p和q　　所以，只有將n素因數分解，才能算出d; 也就意味着私鑰破譯. 但是，大整數的質因數分解是非常困難的. 所以理論上來說，如果我們找到　　了快速對大整數進行質因數分解的方法，那麼RSA加密也就沒什麼安全性可言了；遺憾的是，目前數學上並沒有找到這樣快速的質因數分解方法.5.3 RSA的加密過程　　　　假設A要向B發送加密信息m，他就要用B的公鑰(n,e)對m進行加密，但m必須是整數（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必須小　　於n. 所謂加密就是計算下式的c:　　　　m^e ≡ c (mod n)　　假設m=65,B的公鑰(3233,17),所以等式如下：　　　　65^17≡2790（mod 3233）　　所以c等於2790，A就把2790發給B.5.4 RSA的解密過程　　　　B收到A發來的2790後，就用自己的私鑰(3233,2755)進行解密　　　　　 c^d ≡ m (mod n)　　也就是c的d次方除以n的餘數就是m　　　　　　2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)　　因此得到原文65.
   
   

C語言代碼

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#include <stdio.h>
int candp(int a,int b,int c)
{
   
    
	int r=1;
	b=b+1;
	while(b!=1)
	{
   
   
	    r=r*a;
	    r=r%c;
	    b--;
	}
	
	return r;
}
main()
{
   
   
	int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
	char s;
	printf("請輸入大素數p和q ");
	scanf("%d%d",&p,&q);
	n=p*q;
	printf("n=%3d\n",n);
	t=(p-1)*(q-1);
	printf("t=%3d\n",t);
	printf("請輸入 e: ");
	scanf("%d",&e);
	if(e<1||e>t)
	{
   
   
	     printf("輸入的e不合規，請重新輸入 ");
	     scanf("%d",&e);
	}
	d=1;
	while(((e*d)%t)!=1)   d++;
	printf("計算d的結果爲 %d\n",d);
	printf("加密請輸入 1\n");
	printf("解密請輸入 2\n");
	scanf("%d",&r);
	switch(r)
	{
   
   
	    case 1: printf("輸入明文m: "); /*輸入要加密的明文數字*/
	            scanf("%d",&m);
	            c=candp(m,e,n);
	            printf("密文爲 %d\n",c);break;
	    case 2: printf("輸入密文 c: "); /*輸入要解密的密文數字*/
	            scanf("%d",&c);
	            m=candp(c,d,n);
	            printf("明文爲 %d\n",m);break;
	}
	getchar();
}