歐拉函數——簽到題

題目

Luogu：P3601 簽到題

算法分析

題中 我們定義一個函數： q i a n d a o ( x ) qiandao(x) qiandao(x)爲小於等於x的數中與 x x x不互質的數的個數 讓我們很自然地想到 歐拉函數 。那就在這裏先介紹一下這個神奇的函數。

數論基礎——歐拉函數

學習完之後我們勾回頭來看這道題，題中的 q i a n d a o ( x ) qiandao(x) qiandao(x) 其實就是求
( p h i ( x ) (phi(x) (phi(x)表示x的歐拉函數 ) ) ) ∑ i = l r ( i − p h i ( i ) ) \sum_{i=l}^{r} ( i-phi(i) ) i=l∑r​(i−phi(i))
我們定睛一看發現這道題的數據有點大，但兩端點之間的區間相對較小，於是考慮對區間進行處理並掃描統計即可。先篩出 1 0 6 10^{6} 106中所有的質數，然後對 [ l , r ] [l,r] [l,r]區間進行處理。

具體代碼見下

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define rg register
#define ll long long 
using namespace std;
const int P=666623333;
const int MAXN=1000001;
ll prime[MAXN];
int isprime[MAXN];
ll l,r,cnt,ans;
ll phi[MAXN];
ll n[MAXN];
void iprime()
{
   
   
 for(rg int i=2;i<=MAXN;++i)
 {
   
   
  if(!isprime[i])
   prime[++cnt]=i;
  for(rg int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
  {
   
   
   isprime[j]=1;
  }
 }
}
void getphi()
{
   
   
 int i=1;
 while(prime[i]*prime[i]<=r)
 {
   
   
  for(rg int x=(prime[i]-l%prime[i])%prime[i];x<=r-l;x+=prime[i])
  {
   
   
   phi[x]=phi[x]/prime[i]; phi[x]=phi[x]*(prime[i]-1);
   while(n[x]%prime[i]==0)
   {
   
   
    n[x]/=prime[i];
   }
  }
  i++;
 }
}
int main()
{
   
   
 iprime();
 scanf("%lld %lld",&l,&r);
 for(rg ll i=l;i<=r;++i)
 {
   
   
  phi[i-l]=i; n[i-l]=i;
 }
 getphi();
 for(rg ll i=0;i<=r-l;++i)
 {
   
   
  if(n[i]!=1)
  {
   
   
   phi[i]/=n[i];phi[i]*=(n[i]-1);
  }
  ans=(ans+(i+l-phi[i])%P)%P;
 }
 printf("%lld\n",ans);
 return 0;
}

總結與反思

1. 1. 1.數據太大想辦法處理，如本題可轉化成區間長度掃描。
2. 2. 2.學習理解歐拉函數，要掌握一些常用的板子。
3. 3. 3.要學會對數據範圍進行分析，根據不同的數據範圍選擇不同的算法。