rsa公钥密码和签名含C语言代码

RSA是目前使用最广泛的公钥密码体制之一。它是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
RSA算法的安全性基于RSA问题的困难性，也就是基于大整数因子分解的困难性上。但是RSA问题不会比因子分解问题更加困难，也就是说，在没有解决因子分解问题的情况下可能解决RSA问题，因此RSA算法并不是完全基于大整数因子分解的困难性上的。
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1.欧拉函数

什么是欧拉函数
　　欧拉函数是小于x的整数中与x互素的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1.
如何计算欧拉函数
　　通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有素因数，n是不为0的整数.
欧拉函数的一些性质　　
　　1. 对于素数p，φ§=p−1　　2. 若p为素数，n=p^{k，则φ(n)=p}k-p^(k-1) 　　3. 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数；若m,n互素，则φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2

n)=φ(n)　　4. 当n>2时，φ(n)是偶数　　5. 小于n的数中，与n互素的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)　　6. n=∑d∣n​φ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n

欧拉定理

欧拉定理是指：如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立：

即a的φ(n)次方减去1，可以被n整除. 比如，3和4互质，φ(4)=2，(3^2-1)/4=2. 当a为正整数，n为素数且a不能被n整除时，则有　　　　　　　　　　　a^(n-1) ≡ 1 (mod n)这就是费马小定理.

模反元素

如果两个正整数a和n互素，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1. 这时，b就叫做a对模数n的模反元素.

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在，如下图，可以看到：a的 φ(n)-1 次方，就是a对模数n的模反元素.

RSA算法

5.1 密钥的生成过程

1. 随意选择两个大的素数p和q，p不等于q，计算n = pq.
2. 根据欧拉函数的性质3，求得r=φ(n)=φ§φ(q)=(p-1)(q-1).
3. 选择一个小于r的整数e,且e与r互素；并求得e关于r的模反元素，命名为d.(模反元素存在，当且仅当e与r互质; 求d令ed≡1(mod r)）
4. 将p和q的记录销毁
   　　其中(n，e)是公钥，(n，d)是私钥. 例如：
   
5. A随机选两个不相等的质数61和53，并计算两数的积n=61*53=3233，n的长度就是密钥长度。3233的二进制是110010100001，一共12位，
   所以这个密钥就是12位. 实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要的场合是2048位.
   
6. 计算n的欧拉函数; φ(n)=(p-1)(q-1)=60*52=3120.
7. A在1到3120上随机选择了一个随机数e=17，与3120互素.
8. 计算e对φ(n)的模反元素d，即时，ed-1=kφ(n)。
   即使求解：17x+3120y=1.用扩展欧几里得算法求解。可以算出一组解(x,y)=(2753,-15)，即d=2753. 公钥(3233, 17)，私钥(3233,2753)
   　　至此完成计算.5.2 RSA的可靠性　　　　在RSA私钥和公钥生成的过程中，共出现过p,q,n,φ(N),e,d，其中n,e组成公钥，其他的都不是公开的，一旦d泄露，就等于私钥泄露;　　那么能不能根据n,e推导出d呢？　　　　1. ed ≡ 1(mod φ(n)) 只有知道e和φ(n)，才能算出d 　　　　2. φ(n)=(p-1)(q-1) 只有知道p和q,才能算出φ(n）　　　　3. n=pq,只有将n分解才能算出p和q　　所以，只有将n素因数分解，才能算出d; 也就意味着私钥破译. 但是，大整数的质因数分解是非常困难的. 所以理论上来说，如果我们找到　　了快速对大整数进行质因数分解的方法，那么RSA加密也就没什么安全性可言了；遗憾的是，目前数学上并没有找到这样快速的质因数分解方法.5.3 RSA的加密过程　　　　假设A要向B发送加密信息m，他就要用B的公钥(n,e)对m进行加密，但m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小　　于n. 所谓加密就是计算下式的c:　　　　m^e ≡ c (mod n)　　假设m=65,B的公钥(3233,17),所以等式如下：　　　　65^17≡2790（mod 3233）　　所以c等于2790，A就把2790发给B.5.4 RSA的解密过程　　　　B收到A发来的2790后，就用自己的私钥(3233,2755)进行解密　　　　　 c^d ≡ m (mod n)　　也就是c的d次方除以n的余数就是m　　　　　　2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)　　因此得到原文65.
   
   

C语言代码

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#include <stdio.h>
int candp(int a,int b,int c)
{
   
    
	int r=1;
	b=b+1;
	while(b!=1)
	{
   
   
	    r=r*a;
	    r=r%c;
	    b--;
	}
	
	return r;
}
main()
{
   
   
	int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
	char s;
	printf("请输入大素数p和q ");
	scanf("%d%d",&p,&q);
	n=p*q;
	printf("n=%3d\n",n);
	t=(p-1)*(q-1);
	printf("t=%3d\n",t);
	printf("请输入 e: ");
	scanf("%d",&e);
	if(e<1||e>t)
	{
   
   
	     printf("输入的e不合规，请重新输入 ");
	     scanf("%d",&e);
	}
	d=1;
	while(((e*d)%t)!=1)   d++;
	printf("计算d的结果为 %d\n",d);
	printf("加密请输入 1\n");
	printf("解密请输入 2\n");
	scanf("%d",&r);
	switch(r)
	{
   
   
	    case 1: printf("输入明文m: "); /*输入要加密的明文数字*/
	            scanf("%d",&m);
	            c=candp(m,e,n);
	            printf("密文为 %d\n",c);break;
	    case 2: printf("输入密文 c: "); /*输入要解密的密文数字*/
	            scanf("%d",&c);
	            m=candp(c,d,n);
	            printf("明文为 %d\n",m);break;
	}
	getchar();
}