P1439「【模板】最長公共子序列」 1. 題目 2. 題解

1. 題目

題目鏈接：P1439「【模板】最長公共子序列」 。

題目描述

給出 的兩個排列 ​ 和 ，求它們的最長公共子序列。

輸入格式

第一行是一個數 。

接下來兩行，每行爲 個數，爲自然數 的一個排列。

輸出格式

一個數，即最長公共子序列的長度。

輸入輸出樣例

輸入 #1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

輸出 #1

3

說明/提示

• 對於 的數據，；

• 對於 的數據，。

2. 題解

分析

這是一道 LCS 的模板題，但是如果只用樸素的動態規劃來解，複雜度是 ，結果終究會 TLE。和 LCS 類似的是 LIS，然而 LIS 有 的解法，幸運的是部分 LCS 問題可以用 LIS 來解。

• 在 LCS 中，兩個序列中的元素僅表示一種符號，用來判定是否相等的符號，對於符號背後具體的數值對 LCS 的結果並沒有影響。

• 在 LIS 中，是需要考慮序列元素的數值大小關係的。

若 LCS 的兩個序列中的其中一個元素互異，則可以用 LIS 來解。在此類 LCS 中，不防假設序列 中元素是互異的，設序列 的長度爲 ，則我們可以考慮將 的元素按照出現順序依次映射到 上，從而得到 中元素與數值的一一對應關係。然後根據 元素的映射表，來計算序列 元素對應的映射值；對於在 中存在而不在 中存在的元素，直接捨棄即可，因爲它們必然不會出現在 LCS 中。如此，映射完 得到的數值序列設爲 ，其長度爲 。則此時只需要計算序列 的 LIS 即可。這是因爲序列 映射後的序列是一個遞增的數值序列，因此 和 的公共子序列也是遞增子序列，最長公共子序列也是最長遞增子序列，即序列 的最長遞增子序列。

針對這道題而言，由於兩個序列都是 的排列，因此可以轉爲 LIS 問題來求解。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 最長遞增子序列
struct LIS{
    #ifndef _LIS_
    #define ll int 
    #define MAXN 100005
    #endif 
    ll n;
    ll A[MAXN];
    LIS(): n(0) {}
    // 二分+棧求 LIS 長度
    // 複雜度 O(nlogn)
    ll length() {
        ll cntn = n;
        ll *seqa = A;
        vector <ll> lis;
        lis.push_back(seqa[0]);
        for(ll i = 1; i < cntn; ++i) {
            if(seqa[i] > lis.back()) {
                lis.push_back(seqa[i]);
            } else {
                ll pos = lower_bound(lis.begin(), lis.end(), seqa[i]) - lis.begin();
                lis[pos] = min(lis[pos], seqa[i]);
            }
        }
        return lis.size();
    }
};

int main()
{
    int n;
    int P[MAXN];
    LIS lis;
    scanf("%d", &n);
    lis.n = n;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        P[a] = i; 
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        int b;
        scanf("%d", &b);
        lis.A[i] = P[b];
    }
    printf("%d\n", lis.length());
    return 0;
}