用無

能看到無 [1],那麼它就是可以拿來用的。

以一道著名的概率題——蒙提霍爾問題爲例。這個題,是學習概率論的人,要繞的第一道彎。

有三個戴着紅蓋頭的妹子,裏面有一個是秋香。華夫人讓唐伯虎先選一個。唐伯虎就選了其中一個。然後,華夫人掀開了另外兩個妹子其中之一的蓋頭,蓋頭下的妹子不是秋香。華夫人微笑,小夥子,看你長得帥,就再給你一次選擇機會!

請問,小唐要不要堅持原來的選擇?

這個問題,多數人是先看了正確答案,然後附會地反推出一個解題思路。過兩三年不用概率論的知識,往往又會將自己反推出來的思路忘掉。也就是說,對於許多人而言,這是一個需要時不時複習一下的問題……

下面,用無的思路來解。

首先,我作爲小唐去選秋香。這三個妹子裏,哪個是呢?我不知道,這是我首先要認真承認的現實。我只知道這個世界裏隱藏了 1 個秋香,這個世界由三個戴着紅蓋頭的妹子構成。無論如何,我是要去選的。不選就什麼都沒有。選了,至少能有 1/3 的機會,對吧?

這 1/3 的機會意味着什麼呢?意味着,只要我現在選了一個人,就得到了 1/3 的秋香。

當華夫人緩緩掀開另外兩個妹子之一的蓋頭時,我的心撲通撲通地跳,直到我發現這個不是秋香。之後,華夫人又給了我一次可以改變主意的機會……現在,我面前有兩個戴着紅蓋頭的妹子,一個是我一開始選的 1/3 秋香,那麼另一個是誰?

另一個肯定是 2/3 秋香!這個時候,我就不打算再堅持什麼初心了。當然,堅持初心,未必會輸。

概率論,是無知者的藝術。

數學裏也經常可用無。例如下面這個數列的遞推公式:

a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n + 1,\quad a_0 = 0

該如何計算它的通項公式呢?

不知道。

我問自己,你知道 a_{n + 1} 的通項公式麼?

不知道。

我問自己,你知道 a_n 的通項公式麼?

不知道。

既然都不知道,那麼它倆興許是一回事:

a_{n+1} = a_n = x

基於這個等式,將未知數 x 代入上述遞推公式,就可以解出 x = 2,亦即

a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 = 2

這個等式可轉化爲

a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)

上述等式的是一個等比數列。剩下的就是體力活了。這種辦法就是不動點法 [2]

遇到不好解決的問題時,先確定自己有多麼無知,也許就有好的辦法了。這就是用無。


  1. 詳見拙文「觀無」。

  2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/116434438

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