GNN筆記1-3——圖信號處理

圖和圖移位算子

• 圖被定義爲三元組集合： ：

節點 ： 表示 個不同 label 的集合；

邊 ：有序對 表示 可以影響 ；

權重 ： 是 上的一個數字，表示 影響 的程度。

• 有向圖與無向圖

在無向圖中， 等價於 ，且 ，在有向圖中 是從 指向 的箭頭，權重 不一定等於 。

• 帶權圖與無權圖

對於無權圖若邊之間存在連接，通常認爲 的權重是單位 “1”，即 ，而帶權圖上的權重可以根據需要定義爲任意值。

• 圖的矩陣表示

鄰接矩陣： , for all ，對於無向圖， ；

節點的度：節點 的度是其所有鄰接點的權重之和，即 ；

度矩陣：

• 拉普拉斯矩陣

Laplace 矩陣定義爲： ；

歸一化的鄰接矩陣： ，即 ；

歸一化的 Laplace 矩陣： 。

歸一化的原因：1. Express weights relative to the nodes’ degrees ; 2. 算法和計算上的考量。

• 圖移位算子(Graph Shift Operators)

圖移位算子 可以是圖的任何一種矩陣表示，如 、 、 、 等等。

圖上的信號

圖信號是我們在圖上進行信號處理時的對象；

考慮一個有 個節點的圖 和其上定義的圖移位算子 ，那麼一個圖信號就是一個**向量 **，其中分量 是和圖節點 有關的量。爲了強調圖是信號固有的，可以把信號寫成對的形式 ；

圖移位算子 與信號 的乘法表示信號在圖上的擴散，擴散後信號 ，分量 ，權重越大，擴散輸出貢獻越大；

信號擴散序列 ，其中 ，
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信號的擴散即信號在圖上的傳播，擴散一次該信息將被傳播到其單跳鄰居， 次則傳播到 跳鄰居。

圖卷積濾波器

圖卷積濾波器是圖信號線性處理的工具。給定圖 和移位算子 ，以及一系列係數 ，則圖上的卷積濾波器是 的多項式序列，它由 確定：

濾波器作用到圖信號 上：

稱 是濾波器 與信號 的圖卷積。

實際中 不會取到無窮，圖卷積的輸出 ，圖卷積聚集了從局部到全局的信息，是擴散序列元素的線性組合。
[圖片上傳失敗...(image-74e34-1618849866619)]

時序卷積是圖卷積的特例

時序卷積輸出：

時序信號可表示爲線圖上的圖信號 ：
[圖片上傳失敗...(image-71f446-1618849866619)]

其中 是線圖的鄰接矩陣：

於是時間序列能夠表示爲作用在初始信號 上的 的多項式：

卷積運算是輸入信號移位的線性組合：

如果設 爲任意圖移位算子，則可以恢復到圖卷積，因此圖卷積也可以說是時序卷積的推廣：

其中 的含義是信號 在圖上經過 跳傳播後的信號。

圖傅里葉變換

圖形傅里葉變換是分析圖信息處理的工具。

這裏分析的圖是對稱圖(通常爲無向圖)，即 。設 爲 的 個特徵值， 爲對應的 個單位正交特徵向量組， ，令 ， ，於是：

圖傅里葉變換 ：給定圖移位算子 ，圖上信號 的傅里葉變換：

圖上信號 的傅里葉變換實際上就是 在 特徵向量空間的投影運算，稱 爲信號 的頻域表示。

圖傅里葉逆變換：給定圖移位算子 ，頻域信號 的逆傅里葉變換：

顯然 。

圖濾波器的頻率響應(定理)：圖卷積濾波器 ，圖信號 的濾波表示 ，則原信號 的傅里葉變換 和卷積輸出信號 的傅里葉變換 之間的關係是：

證明： ，則 ，因此濾波輸出：

兩邊用 作用：

在圖頻域，濾波器是對角矩陣 在係數 下的多項式，這樣一來原時域信號 上的卷積運算在傅里葉變換下轉換爲了頻域中的點積運算：

其中：

將 定義爲圖濾波器的頻域響應，可以看到頻域響應多項式的係數與圖濾波器係數相同。需要特別指出的是，頻域響應與圖是無關的(頻域響應不依賴於特定的圖)，因此在圖濾波器中，圖的作用僅僅是確定實例化響應的特徵值，當給定一個圖，響應在 上被實例化，而 只是個單變量解析函數，它由濾波係數決定。