西行寺無餘涅槃
題意
給定 \(n\) 個稀疏多項式，求他們的 \(\text{xor}\) 卷積。
具體的，每個多項式中有 \(k\) 個位置有數，值域爲 \([0,2^m)\) ，其中對於每個多項式的 \(k\) 個值從小到大排序後均爲 \(a_0,a_1,…,a_{k-1}\) ，在第 \(i\) 個多項式中，\(a_j\) 所在位置爲 \(p_{i,j}\) 。
\(m+k\leq 20,1\leq n\leq 10^6,k\leq 10\) 。
題解
暴力做法是對於每個多項式求完 \(FWT\) 後 \(IFWT\) 回去，顯然這複雜度不可接受。
顯然點值的不同個數爲 \(2^k\) ，可以寫成 \(\pm a_1\pm a_2\pm a_3\pm…\pm a_k\) 。
不妨對於每個位置單獨考慮在 \(FWT\) 的結果，設 \(a_1+a_2+…+a_k\) 出現了 \(x_0\) 次，\(-a_1+a_2+…a_k\) 出現了 \(x_1\) 次，\(-a_0-a_1-…-a_k\) 出現了 \(x_{2^k-1}\) 次。
如果我們一直 \(x\) 的具體取值就很容易知道該位置 \(FWT\) 後的值。
顯然有
考慮一個元素 \(\alpha\) 對答案的貢獻，具體的設多項式 \(F\) ，對於 \(i\in[1,n]\) ，在 \(p_{i,\alpha}\) 的位置加一，對 \(F\) 做 \(FWT\) 的結果。
不妨令 \(\alpha=1\) ，那麼該多項式的當前考慮位置值爲 \(w\) ，則。
因爲 \(x_0,x_2,…\) 前面的係數爲 \(+1\) ，而 \(x_1,x_3,…\) 前面的係數爲 \(-1\) 。
同理可以得到 \(k\) 個方程，但這遠低於 \(2^k\) 。
人類智慧一下如果 \(\alpha\) 是個集合呢？
不妨設 \(\alpha=\{1,2\}\) ，那麼對於 \(i\in [1,n]\) ，在 \(p_{i,1}\bigoplus p_{i,2}\) 的位置加一，對 \(F\) 做 \(FWT\) 的結果在當前考慮位置值爲 \(w\) 。
由於 \(a \bigcap(b \bigoplus c)=(a\bigcap b)\bigoplus (a \bigcap c)\) ，那麼表達的爲 \(a_1,a_2\) 前面係數相同的做 \(+1\) ，不同爲 \(-1\) 。
推廣一下就可以得到 \(2^k\) 個方程，但如何快速解呢？
事實上方程的係數是 \(F={x_0,x_1,x_2,…,x_{2^k-1}}\) ，\(FWT\) 後的結果，這也很好解釋。
那麼只要得到該 \(2^k\) 方程係數後做 \(IFWT\) 就可以得到 \(x_0,x_1,x_2,…,x_{2^k-1}\) 的具體值。
時間複雜度 \(\mathcal O(2^k(n+2^m\cdot m))\) 。
http://121.17.168.211:30000/contest/submission/9365
2021 山東省集 易見
題意
給定長度爲 \(n\) 的字符串 \(S\) ，\(Q\) 組詢問，每次詢問一段區間內本質不同的子序列個數。
\(1\leq n,q\leq 10^6\) 。
題解
弱化版題目：「2017 山東一輪集訓 Day6」子序列
本質不同子序列個數的求法可以通過建子序列自動機（模擬貪心）數 \(DAG\) 路徑條數解決，或者矩陣乘法。
對於矩陣乘法，設 \(f_{i,j}\) 表示開頭爲 \(i\) ，預支下一個接上來的字符爲 \(j\) 的方案數。
顯然對於字符 \(c\) 來講， \(f_{0,0}=f_{1,1}=f_{2,2}=…=1,f_{c,0}=f_{c,1}=f_{c,2}=…=f_{c,26}=1\) 設該矩陣爲 \(G(c)\) 。
那麼對於詢問區間爲 \([l,r]\) 來說，\(F=\prod_{i=l}^r G(S_i)\) 。 則最終答案爲 \(\sum_{i=0}^{25} F_{i,26}\) 。
故我們需要快速求一段區間內矩陣乘，可以維護前綴乘與前綴矩陣逆的乘。注意 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 。
具體的，設 \(P_i=\prod_{j=1}^i G(j),Q_i=\prod_{j=i}^1 G^{-1}(j)\) ，那麼答案寫成 \(Q_{l-1}\times P_r\) 。
時間複雜度 \(\mathcal O((n+q)|z|^3)\) ，僅能解決弱化版問題。https://loj.ac/s/1135303
觀察一下 \(G^{-1}(c)\) 的性質，該矩陣可以寫成
假設 \(|z|=4,c=2\) 。
若矩陣 \(G^{-1}(c)\times F\) ，事實上是除第 \(c\) 行其餘行值不改變，而第 \(c\) 行每個值減去該列其他值。
觀察一下 \(G(c)\) 的性質，該矩陣可以寫成
若矩陣 \(F\times G(c)\) ，事實上是將除第 \(c\) 列其餘值加上所在行的第 \(c\) 列值，第 \(c\) 列不變。
我們需要知道 \(Q_i\times P_j\) 最後一列的和，由於 \(P_j=\prod_{i=1}^j G(S_i)\) ，我們可以將 \(P_j\) 看成一個變換，將列看成整體，維護在 \(P_j\) 時是通過每列的多少係數構成的。
這很好通過 \(\mathcal O(n|z|)\) 的時間維護。
那麼我們需要知道 \(Q_i\) 的每列和，這也十分好維護，時間複雜度 \(\mathcal O(n|z|)\) .
故總時間複雜度 \(\mathcal O((n+q)|z|)\) 。
PKUWC2018 Minimax
題解
顯然有 \(\mathcal O(n^2)\) 樹形 \(dp\) 的做法，對其做線段樹合併維護乘法以及區間和可以做到 \(\mathcal O(n\log n)\) 。
PKUWC2018 隨機算法
題解
顯然有 \(\mathcal O(3^n)\) 的狀壓 \(dp\) ，但這樣記錄了每個點是否選擇與是否在獨立集中，很難得到優化。
考慮對於不在獨立集中的點，它出現的位置只要比相鄰第一個出現在獨立集時間靠後即爲合法。
那麼我們僅考慮在獨立集的元素爲 \(S\) ，設 \(f_S\) 表示獨立集爲 \(S\) ，並且考慮完 \(Nex(S)\) 的方案數。其中 \(Nex(S)\) 爲 \(S\) 與 \(S\) 的鄰居集合。
考慮在 \(f(S)\) 後面加入元素 \(u\) ，顯然需要滿足 \(S\) 不存在到 \(u\) 的邊，但轉移到 \(f(S+u)\) 的係數是什麼呢 。
設需要考慮點的個數爲 \(x\) ，後面還有 \(y\) 個點沒有確定位置，那麼通過插板法可以得到 \(\binom{x+y}{y-1}\) 。
時間複雜度 \(\mathcal O(2^n\times n)\) 。
PKUWC2018 獵人殺
題解
啥都不會/qaq。
一個很精妙的轉化是每次 \(\dfrac{w_i}{\sum w}\) 的概率選擇 \(i\) ，但若已經選擇則再重新選擇，使得最後均被選擇，概率是相同的。
對答案容斥，記 \(f(S)\) 表示在 \(1\) 號點選擇前至少 \(S\) 未被選擇，則
由於 \(\sum w\leq 10^5\) ，考慮枚舉 \(\sum_{u\in S} w_u\) ，那麼需要知道 \(\sum (-1)^{|S|}\) 。
答案可以寫成 \([x^i]\prod_{i=2}^n (1-x^{w_i})\) ，分治 \(NTT\) 即可。時間複雜度 \(\mathcal O(\sum w\log^2 \sum w)\) 。
PKUWC2018 隨機遊走
題解
對答案 \(Min-Max\) 容斥，那麼需要對每個子集 \(T\) 求出從 \(x\) 走到 \(T\) 中點停止的期望時間。
普通消元是 \(\mathcal O(n^3)\) 無法解決問題，不妨將轉移寫出，設 \(f_u\) 表示從 \(u\) 開始走到 \(T\) 中任意一點停止的期望時間，則
樹上高斯消元很經典的套路是每個點 \(f_u\) 可以寫成
其中，\(A_u,B_u\) 爲常數。
證明也較爲 \(\text{trival}\) ，若 \(u\) 爲葉子那麼 \(f_u=\frac{1}{d_u}f_{fa_u}+1\) ，\(A_u=\frac{1}{d_u},B_u=1\) 。否則
即 \(A_u=\dfrac{1}{d_u-\sum A_v},B_u=\dfrac{\sum B_v+d_u}{d_u-\sum A_v}\) 。
由於不能 \(\mathcal O(q2^n)\) ，需要 \(FWT\) 處理出答案，\(O(1)\) 回答。
時間複雜度 \(\mathcal O(2^nn+q)\) 。
PKUSC2018 最大前綴和
題解
對於 \(a\) 中僅存在一個負數的情況考慮枚舉集合 \(S\) 使得 \(S\) 爲最大前綴和，那麼 \(S\) 的補集 \(T\) 需要滿足 \(T\) 中前綴和均小於 \(0\) 。
這也是該題的解題思路。
令 \(f_S\) 表示 \(S\) 中的元素任意排列後最大前綴和爲它本身的方案數，\(g_S\) 表示 \(S\) 中的元素任意排列後前綴和 \(<0\) 的方案數。
\(g_S\) 很好轉移，每次往後新添一個元素看一下前綴和是否 \(<0\) ，時間複雜度 \(\mathcal O(2^nn)\) 。
對於 \(f_S\) 來說往後新添一個字符很難進行轉移，但往前填就會方便轉移。
具體的，設當前序列 \({a_1,a_2,…,a_k}\) ，由於 \(\sum_{i=1}^k a_i\) 爲最大值那麼 對於 \([2,k]\) 來說前綴最大值也應該爲他本身，否則一定不優，並且 \(\sum_{i=2}^k a_i\geq 0\) ，否則僅選 \(a_1\) 即可。
那麼我們只需要枚舉第一個元素 \(u\) ，若 \(Sum(S)\geq 0\) ，則 \(f_{S+u}\leftarrow f_{S}\) 。
時間複雜度 \(\mathcal O(2^nn)\) 。