有向有權圖
圖的兩種搜索算法，深度優先搜索和廣度優先搜索。這兩種算法主要是針對無權圖的搜索算法。
針對有權圖，也就是圖中的每條邊都有一個權重，該如何計算兩點之間的最短路徑（經過的邊的權重和最小）呢？常用的最短路徑算法（Shortest Path Algorithm）。
地圖軟件的最優路線是如何計算出來？底層依賴什麼算法？這裏的最優，比如最短路線、最少用時路線、最少紅綠燈路線等等。
最短路線：解決軟件開發中的實際問題最重要的一點就是建模，也就是將複雜的場景抽象成具體的數據結構。
把地圖抽象成圖，把每個岔路口看作一個頂點，岔路口與岔路口之間的路看作一條邊，路的長度就是邊的權重。 如果路是單行道，我們就在兩個頂點之間畫一條有向邊；如果路是雙行道，我們就在兩個頂點之 間畫兩條方向不同的邊。這樣，整個地圖就被抽象成一個有向有
權圖。於是，要求解的問題就轉化爲，在一個有向有權圖中，求兩個頂點間的最短路徑。
import java.util.LinkedList;
// 有向有權圖的鄰接表表示
public class Graph {
private LinkedList<Edge> adj[]; // 鄰接表
private int v; // 頂點個數
public Graph(int v) {
this.v = v;
this.adj = new LinkedList[v];
for (int i = 0; i < v; ++i) {
this.adj[i] = new LinkedList<>();
}
}
public void addEdge(int s, int t, int w) { // 添加一條邊
this.adj[s].add(new Edge(s, t, w));
}
private class Edge {
public int sid; // 邊的起始頂點編號
public int tid; // 邊的終止頂點編號
public int w; // 權重
public Edge(int sid, int tid, int w) {
this.sid = sid;
this.tid = tid;
this.w = w;
}
}
// 下面這個類是爲了 dijkstra 實現用的
private class Vertex implements Comparable<Vertex> {
public int id; // 頂點編號 ID
public int dist; // 從起始頂點到這個頂點的距離
public Vertex(int id, int dist) {
this.id = id;
this.dist = dist;
}
@Override
public int compareTo(Vertex o) { // 按照 dist 從小到大排序
if (o.dist > this.dist) return -1;
else return 1;
}
}
}
Dijkstra 算法
解決這個問題，有一個非常經典的算法，最短路徑算法，單源最短路徑算 法（一個頂點到一個頂點），最出名的莫過於 Dijkstra 算法。Dijkstra 算法的工作原理如下：
public void dijkstra(int s, int t) { // 從頂點 s 到頂點 t 的最短路徑
int[] predecessor = new int[this.v]; // 用來還原最短路徑
Vertex[] vertexes = new Vertex[this.v]; // 記錄起始頂點到這個頂點的距離
for (int i = 0; i < v; ++i) { // 初始化 dist 爲無窮大
vertexes[i] = new Vertex(i, Integer.MAX_VALUE);
}
PriorityQueue<Vertex> queue = new PriorityQueue<>(); // 小頂堆
boolean[] inQueue = new boolean[this.v]; // 標記是否進入過隊列
queue.add(vertexes[s]); // 先把起始頂點放到隊列中
vertexes[s].dist = 0;
inqueue[s] = true;
while (!queue.isEmpty()) {
Vertex minVertex= queue.poll(); // 取 dist 最小的頂點
if (minVertex.id == t) break; // 最短路徑產生了
for (int i = 0; i < adj[minVertex.id].size(); ++i) {
Edge e = adj[minVertex.id].get(i); // 取出一條 minVetex 相連的邊
Vertex nextVertex = vertexes[e.tid]; // minVertex-->nextVertex
// 找到一條到 nextVertex 更短的路徑
if (minVertex.dist + e.w < nextVertex.dist) {
nextVertex.dist = minVertex.dist + e.w; // 更新 dist
predecessor[nextVertex.id] = minVertex.id; // 更新前驅頂點
if (inqueue[nextVertex.id] == false) { // 如果沒有在隊列中
queue.add(nextVertex); // 就把它放到隊列中
inqueue[nextVertex.id] = true;
}
}
}
}
// 輸出最短路徑
System.out.print(s);
print(s, t, predecessor);
}
private void print(int s, int t, int[] predecessor) {
if (s == t) return;
print(s, predecessor[t], predecessor);
System.out.print("->" + t);
}
用 vertexes 數組，記錄從起始頂點到每個頂點的距離（dist）。起初，我們把所有頂點的 dist 都初始化爲無窮大（也就是代碼中的 Integer.MAX_VALUE）。我們把起始頂點的 dist 值 初始化爲 0，然後將其放到優先級隊列中。 我們從優先級隊列中取出 dist 最小的頂點
minVertex，然後考察這個頂點可達的所有頂點（代 碼中的 nextVertex）。如果 minVertex 的 dist 值加上 minVertex 與 nextVertex 之間邊的權 重 w 小於 nextVertex 當前的 dist 值，也就是說，存在另一條更短的路徑，它經過 minVertex 到達 nextVertex。那我們就把
nextVertex 的 dist 更新爲 minVertex 的 dist 值加上 w。然 後，我們把 nextVertex 加入到優先級隊列中。重複這個過程，直到找到終止頂點 t 或者隊列爲 空。 以上就是 Dijkstra 算法的核心邏輯。除此之外，代碼中還有兩個額外的變量，predecessor 數 組和 inqueue 數組。
predecessor 數組的作用是爲了還原最短路徑，它記錄每個頂點的前驅頂點。最後，我們通過 遞歸的方式，將這個路徑打印出來。這個跟圖的搜索中打印路徑方法一樣。
inqueue 數組是爲了避免將一個頂點多次添加到優先級隊列中。更新了某個頂點的 dist 值 之後，如果這個頂點已經在優先級隊列中了，就不要再將它重複添加進去了。
Dijkstra 算法的時間複雜度
在剛剛的代碼實現中，最複雜就是 while 循環嵌套 for 循環那部分代碼了。while 循環最多會執 行 V 次（V 表示頂點的個數），而內部的 for 循環的執行次數不確定，跟每個頂點的相鄰邊的 個數有關，分別記作 E0，E1，E2，……，E(V-1)。
如果把這 V 個頂點的邊都加起來， 最大也不會超過圖中所有邊的個數 E（E 表示邊的個數）。 for 循環內部的代碼涉及從優先級隊列取數據、往優先級隊列中添加數據、更新優先級隊列中的 數據，這樣三個主要的操作。
優先級隊列是用堆來實現的，堆中的這幾個操作，時間 複雜度都是 O(logV)（堆中的元素個數不會超過頂點的個數 V）。 所以，綜合這兩部分，再利用乘法原則，整個代碼的時間複雜度就是 O(E*logV)。
如何計算最優出行路線？
從理論上講，用 Dijkstra 算法可以計算出兩點之間的最短路徑。但是對於一 個超級大地圖來說，岔路口、道路都非常多，對應到圖這種數據結構上來說，就有非常多的頂點 和邊。如果爲了計算兩點之間的最短路徑，在一個超級大圖上動用 Dijkstra 算法，遍歷所有的 頂點和
邊，顯然會非常耗時。
做工程不像做理論，一定要給出個最優解。理論上算法再好，如果執行效率太低，也無法應用到 實際的工程中。對於軟件開發工程師來說，我們經常要根據問題的實際背景，對解決方案權衡取 舍。類似出行路線這種工程上的問題，我們沒有必要非得求出個絕對最優解。很
多時候，爲了兼 顧執行效率，我們只需要計算出一個可行的次優解就可以了。
優化方案
雖然地圖很大，但是兩點之間的最短路徑或者說較好的出行路徑，並不會很“發散”，只會出現在兩點之間和兩點附近的區塊內。所以可以在整個大地圖上，劃出一個小的區塊，這個小區塊恰好可以覆蓋住兩個點，但又不會很大。只需要在這個小區塊內部運行 Dijkstra 算
法， 這樣就可以避免遍歷整個大圖，也就大大提高了執行效率。
如果兩點距離比較遠，從北京海淀區某個地點，到上海黃浦區某個地點，那 上面的這種處理方法，顯然就不工作了，畢竟覆蓋北京和上海的區塊並不小。
對於這樣兩點之間距離較遠的路線規劃，可以把北京海淀區或者北京看作一個頂點，把上海黃浦區或者上海看作一個頂點，先規劃大的出行路線。比如如何從北京到上海，必須要經過某幾個頂點，或者某幾條幹道，再細化每個階段的小路線。 這樣，最短路徑問題就解決了
最少時間和最少紅綠燈
最短路徑問題時，每條邊的權重是路的長度。在計算最少時間的時候，算法還是不變，只需要把邊的權重，從路的長度變成經過這段路所需要的時間。不過，這個時間會根據擁堵情況時刻變化。如何計算車通過一段路的時間呢？
每經過一條邊，就要經過一個紅綠燈。關於最少紅綠燈的出行方案，實際上，我們只需要把每條邊的權值改爲 1 即可，算法還是不變，繼續使用Dijkstra算法。不過，邊的權值爲1，也就相當於無權圖了，還可以使用廣度優先搜索算法。
廣度優先搜索算法計算出來的兩點之間的路徑，就是兩點的最短路徑。
真實的地圖軟件的路徑規劃，要比這個複雜很多；比起Dijkstra 算法，地圖軟件用的更多的是類似 A* 的啓發式搜索算法，不過也是在 Dijkstra 算法上的優化罷了。
總結
一種非常重要的圖算法，Dijkstra 最短路徑算法。實際上，最短路徑算法還有很多，比如 Bellford 算法、Floyd 算法等等。
Dkijstra 算法不是貪心算法，它是動態規劃算法，求得的解全局最優解。
廣度優先算法遍歷無權圖中一點s到另 一點t的路徑，就是它的最短路徑。
在計算最短時間的出行路線中，如何獲得通過某條路的時間呢？這個題目很有意思；
獲取通過某條路的時間：通過某條路的時間與①路長度②路況(是否平坦等)③擁堵情況④紅 綠燈個數等因素相關。獲取這些因素後就可以建立一個迴歸模型(比如線性迴歸)來估算時間。
其中①②④因素比較固定，容易獲得。③是動態的，但也可以通過
- a.與交通部門合作獲得路段 擁堵情況；
- b.聯合其他導航軟件獲得在該路段的在線人數；
- c.通過現在時間段正好在次路段的 其他用戶的真實情況等方式估算。