排列組合
\[{n \choose m} = \frac{n!}{(n-m)!m!}
\]
\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}
\]
\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}
\]
恆等式
(1) \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
從\(n\)個元素選擇\(m\)個，等價於\(n\)個元素中不選\(n-m\)個。
(2) \(A_n^m+mA_n^{m-1}=A_{n+1}^m\)
在\(n+1\)個元素中選擇\(m\)個元素排成一排，等價於考慮第\(n+1\)個元素：
- 不在該排列中：\(A_n^m\)
- 存在該排列中：\(mA_n^{m-1}\)，\(m\)表示該元素有\(m\)种放置位置。
(3) \(C_n^{m-1}+C_n^{m}=C_{n+1}^m \ or \ C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m=C_n^m\)
在\(n+1\)個元素中選出\(m\)個元素，等價於考慮第\(n+1\)個元素：
- 不在該組合中：\(C_n^m\)
- 存在該組合中：\(C_n^{m-1}\)
(3*) \(C_m^m+C_{m+1}^m+C_{m+2}^m+\cdots+C_{n-1}^m+C_n^m=C_{n+1}^{m+1}\)
可由式\((3)\)推導而出。
\(C_{m+1}^{m+1}=1=C_{m}^{m}\)
\(C_{m}^{m}+C_{m+1}^{m}=C_{m+1}^{m+1}+C_{m+1}^m=C_{m+2}^{m+1}\)
\(C_{m+2}^{m+1}+C_{m+2}^m=C_{m+3}^{m+1}\)
\(\cdots\)
\(C_{n}^{m+1}+C_n^m=C_{n+1}^{m+1}\)
得證。
事實上式\((3)\)可以認爲是在楊輝三角上的遞推。所以該式也可以由楊輝三角進行理解（如圖）。
事實上很多恆等式都可以直接利用楊輝三角進行（眼睛上的）理解推導（）
(4) \(C_n^{m-1}+2C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+2}^{m+1}\)
從\(n+2\)個元素中選出\(m+1\)個元素，考慮第\(n+1\)個元素和第\(n+2\)個元素：
- 兩元素都不在該組合中：\(C_n^{m+1}\)
- 兩元素都在該組合中：\(C_n^{m-1}\)
- 兩元素有一個在該組合中：\(2C_n^m\)
(5) \(C_a^b \times C_b^c=C_a^c \times C_{a-c}^{b-c}=C_a^c \times C_{a-c}^{a-b}\)
考慮在集合\(A'\)，\(|A'|=a\)中，求構造集合\(C' \subseteq B' \subseteq A'\)，\(|C'|=c,|B'|=b\)的方案數。
- 先從\(A'\)中\(a\)個元素中取出\(b\)個元素放入\(B'\)，再從\(B'\)中取出\(c\)個元素放入\(C'\)：\(C_a^b \times C_b^c\)
- 先從\(A'\)中\(a\)個元素中取出\(c\)個元素放入\(C'\)（當然同時也放進了\(B '\)），再從剩下的\(a-c\)個元素中取出\(b-c\)個元素放入\(\complement_{B'}C'\)中：\(C_a^c \times C_{a-c}^{b-c}\)
(6) \(C_n^0C_m^a+C_n^1C_m^{a-1}+\cdots+C_n^{a-1}C_m^1+C_n^aC_m^0=\sum_{i=0}^{a}C_n^iC_m^{a-i}=C_{n+m}^a\)
在\(n+m\)個元素中選出\(a\)個元素：
- 前\(n\)個元素中選擇了\(i\)個元素，後\(m\)個元素中選擇了\(a-i\)個元素：\(C_n^iC_m^{a-i}\)
特別地，當\(m=n\)時：