攤還分析(amortized analysis)是一種分析一個操作序列中所執行的所有操作的平均時間分析方法。與一般的平均分析方法不同的是，它不涉及概率的分析，可以保證最壞情況下每個操作的平均性能。
下面介紹癱瘓分析中的最常用的三種技術。
1. 聚合分析
1.1 棧操作
先來看對棧進行操作的例子。
通常，棧能夠進行push(S, x)與pop(S)操作，其時間複雜度均爲O(1)。現在定義一個新的操作multipop(S, k)，它刪除棧S棧頂的k個元素（若不足k個，則全部彈出爲止）。下面是操作multipop(S, k)的僞代碼：
while not stack-empty(S) and k > 0
pop(s)
k = k - 1
可以看出，multipop的時間代價爲min(s, k)，其中s是棧中元素的個數。
下面我們分析一個由n個push、pop和multipop組成的操作在一個空棧上的執行情況。
簡單地，根據上面對multipop操作時間代價（min(s, k)）的分析，我們很快得出，一個multipop操作的最壞時間是O(n)，因爲棧的大小是n，因此n個操作的序列的最壞時間代價是\(O(n^2)\)。雖然這個結論是正確的，但是它卻不是一個確界。
從另一個角度考慮，pop操作的次數至多與push操作的次數相等，而push操作的次數至多爲n次。因此一個由n個push、pop和multipop組成的操作的時間代價最多爲O(n)，分攤到每一個操作的時間代價就爲O(n) / n = O(1)。
1.2 二進制計數器遞增
我們再來看二進制計數器遞增的例子。
二進制計數器是用一個數組來表示一個數，即數組每一個槽充當二進制數的一個數位，數組的第一個槽爲最低位。
其遞增算法的思路是：首先將最低位記爲當前位。判斷當前位是否爲1，若是，則將該位置爲0，當前位右移一位（進位操作）；不斷重複以上過程直至當前位的值不爲1或者當前位“溢出”。最後，如果沒有“溢出”，就將當前位的值置爲1。
下面是python實現代碼：
def increment(num):
i = 0
while i < len(num) and num[i] == 1:
num[i] = 0
i += 1
if i < len(num):
num[i] = 1
假設這個數組長度位k。根據上面的代碼，我們可以發現，increment操作的最壞時間代價是 O(k)，這在所有位上都是1時發生。因此，我們可以粗略地做出判斷：對初值位0的計數器執行n個increment操作的時間代價位O(nk)。
和前面一樣，事實上，這個上界是不確切的。因爲increment操作不會在連續執行n次時，每次都是最壞情況。事實上，我們可以確切地計算出其時間代價：
因此，對於一個初值爲0的計數器，執行一個n個increment操作的序列的最壞時間代價是O(n)，分攤到每一個操作的時間代價爲O(1)。
2. 覈算法
在用覈算法(accounting method)進行攤還分析時，我們對不同操作賦予不同的費用，它可能多於或少於其實際代價，我們稱其爲攤還代價。
當一個操作的攤還代價超出其實際代價時，我們將差額存入數據結構的特定對象，存入的差額稱爲信用。對於後續操作中攤還代價小於其實際代價的情況，信用可以用來支付差額。
2.1 棧操作
回到棧操作的例子，其中各操作的實際代價爲：
| 操作 | 實際代價 |
|---|---|
| push | 1 |
| pop | 1 |
| multipop | min(k, s) |
我們爲這些操作賦予如下的攤還代價：
| 操作 | 攤還代價 |
|---|---|
| push | 2 |
| pop | 0 |
| multipop | 0 |
在每次進行push操作時，我們花費2個單位的代價，1個單位用來支付其本身的實際代價，另1個單位可作爲信用保存；當對棧中的任何一個元素進行pop（multipop也屬於pop）操作時，可用該元素在push時儲存的信用來支付差額。這樣就保證了在任何時刻的信用值是非負的。
因此，總實際代價的上界爲總攤還代價，即爲O(n)。
這是因爲\(\sum\limits_{i=1}^{n}c'_i \geq \sum\limits_{i=1}^{n}c_i\)在任何時刻都成立，其中\(c_i\)爲第i個操作的真實代價，\(c_i'\)爲其攤還代價。
2.2 二進制計數器遞增
同理，我們也可以用覈算法來分析上述二進制計數器遞增的例子。
因爲increment操作的時間效率與當前數組中爲1的位數成正比，因此我們將翻轉的位數作爲操作的代價。
對於一次置位操作（將該位值置爲1的操作），我們設其攤還代價爲2。在進行一次置位操作時，我們花1個單位的代價來支付其本身的實際代價，剩餘1單位作爲信用，用來支付將來可能的復位操作（將該位值置爲0的操作）的代價。這樣就保證了在任何時刻的信用值是非負的。這樣就保證了在任何時刻的信用值是非負的。
因此，總實際代價的上界爲總攤還代價。而在一次increment操作中，只進行一次置位操作，因此總攤還代價O(n)。
3. 勢能法
與覈算法不同，勢能分析並不是將預付代價表示爲數據結構中特定對象的信用，而是表示爲“勢能”，簡稱“勢”。釋放勢能即可用來支付未來操作代價。我們將勢能與整個數據結構而不是特定對象相關聯。
假設我們對一個初始數據結構\(D_0\)執行n個操作。對每一個\(i=1, 2,...,n\)，用\(c_i\)表示第i個操作的實際代價，\(D_i\)表示在數據結構\(D_{i-1}\)上執行第i個操作得到的結果數據結構。勢函數\(\Theta\)將每個數據結構\(D_i\)映射到一個實數\(\Theta(D_i)\)，此值即爲關聯到數據結構\(D_i\)的勢；並且定義第i個操作的攤還代價\(c_i'\)爲：
即每個操作的攤還代價爲其實際代價與其引起的勢能變化的和。
於是，\(n\)個操作的總代價爲：
做一個移項，變形得：
如果我們能定義一個勢函數\(\Theta\)，使得\(\Theta(D_n) \geq \Theta(D_0)\)，則總攤還代價\(\sum_\limits{i = 1}^n c_i'\)給出了總實際代價\(\sum_\limits{i = 1}^n c_i\)的一個上界。
由於我們不是總能知道要執行多少個操作，因此無法直接保證\(\Theta(D_n) \geq \Theta(D_0)\)。但是如果我們將勢函數的選擇條件變得嚴格，使得\(\Theta(D_i) \geq \Theta(D_0)\)對於所有的i都成立，那麼就可以保證。
3.1 棧操作
我們再次回到棧操作的例子。這次我們採用勢能法來分析該問題。
對於勢函數的選取，我們選擇將棧映射到其內部元素個數的函數，即\(\Theta(D_i)表示第\)\(i\)次操作棧時，棧中元素的個數。對於初始的空棧，有\(\Theta(D_0) = 0\)；並且由於棧中元素不可能爲負，因此\(\Theta(D_i) \geq 0 = \Theta(D_0)\)。
因此，以上\(\Theta\)函數定義的n個操作的總攤還代價爲總實際代價的一個上界。
有了以上\(\Theta\)函數的定義，我們便可以計算棧上各種操作的攤還代價。
對於push操作，其實際代價爲1，其引起的勢能變化也爲1，因此其攤還代價爲2。
對於pop操作，同理可得其攤還代價爲0。
對於一次multipop操作，它會將\(k' = \min(k, s)\)個對象彈出，即其實際代價爲\(k'\)；引起的勢差變化爲\(-k\)，因此其攤還代價也爲0。
綜上，每個操作的攤還代價都爲O(1)，n個操作的總攤還代價爲\(O(n)\)，總實際代價最壞爲\(O(n)\)。
3.2 二進制計數器遞增
同樣我們再用勢能法來分析二進制計數器遞增的例子。
與上面相似，我們將\(\Theta(D_i)\)表示爲二進制計數器中，位上是1的位數。顯然\(\Theta(D_i) \geq \Theta(D_0) = 0\)。因此，總攤還代價爲總實際代價的一個上界。
再分析總攤還代價。對於一次increment操作，其實際代價爲\(k'\)次復位操作和1次置位操作，爲\(k'+1\)；其引起的勢差變化爲\(-k'+1\)，因此攤還代價爲\((k'+1) + (-k' + 1) = 2\)，\(n\)個操作的總攤還代價爲\(O(n)\)，因此總實際代價最壞爲\(O(n)\)。