不定积分

原函数与不定积分的概念

原函数的定义

如果在区间 \(I\) 上,可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\) ,即对任一 \(x\in I\) 都有

\[F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, \]

那么函数 \(F(x)\) 就称为 \(f(x)\) (或 \(f(x)dx\) )在区间 \(I\) 上的一个原函数.

原函数存在定理

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续,那么区间 \(I\) 上存在可导函数 \(F(x)\) 使对任一 \(x\in I\) 都有

\[F'(x)=f(x) \]

即:连续函数一定有原函数.

不定积分的定义

在区间上,函数 \(f(x)\) 的带有任意常数项的原函数称为 \(f(x)\) (或 \(f(x)dx\) )在区间 \(I\) 上的不定积分,记作:

\[\int f(x)dx. \]

其中记号 \(\int\) 称为积分号, \(f(x)\) 称为被积函数, \(f(x)dx\) 称为被积表达式, \(x\) 称为积分变量.

基本积分表

\(\int k d x=d x+C(k是常数)\)
\(\int x^{k} d x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C(k \neq-1)\)
\(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C(x \neq 0)\)
\(\int \sin x d x=-\cos x+C\)
\(\int \cos x d x=\sin x+C\)
\(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)
\(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)
\(\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan x+C或\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\operatorname{arccot} x+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\arcsin x+C 或 \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=-\arccos x+C\)
\(\int \sec ^{2} x d x=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)
\(\int \csc ^{2} x d x=\int \frac{1}{\sin ^{2}} d x=-\cot x+C\)
\(\int \sec x \tan x d x=\sec x+C\)
\(\int \csc x \cot x d x=-\csc x+C\)

不定积分的性质

设函数 \(f(x)\) 及 \(g(x)\) 的原函数存在,则

\[\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k为非零常数) \]

不定积分与微分和导数之间的关系

\((\int f(x)dx)'=f(x)\)
\(d \int f(x)dx=f(x)dx\)
\(\int f'(x)dx=f(x)+C\)
\(\int df(x)=f(x)+C\)

求不定积分的方法

换元积分法

第一类换元法(凑微分法)

设 \(f(u)\) 具有原函数, \(u=\varphi(x)\) 可导,则有换元公式

\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)} \]

第二类换元法

设 \(x=\psi(t)\) 是单调的可导函数,并且 \(\psi'(t)\neq0\) .又设 \(f[\psi(t)]\psi'(t)\) 具有原函数,则有换元公式.

\[\int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)} \]

分部积分法

设函数 \(u=u(x)\) 及 \(v=v(x)\) 具有连续导数,则有:

\[\int uv'dx=uv-\int u'vdx \]

可以简化为

\[\int udv=uv-\int vdu \]

积分表补充

通过上面两种求不定积分的方法,我们可以扩展积分表添加一些常用的积分:

\(\int \tan xdx=-\ln| \cos x | + C,\)
\(\int \cot xdx=\ln| \sin x | + C,\)
\(\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C,\)
\(\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C,\)
\(\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arcsin \frac{x}{a}+C,\)
\(\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C,\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C,\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C,\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C.\)

超越积分(不可积积分)

上述积分方法所求积分都有一个特点,即:所求不定积分都是初等函数.
实际上,我们只能求出原函数可以表示成初等函数的函数的不定积分,如果一个函数的原函数不可以用初等函数表示,那么我们称其的不定积分为超越积分,即不可积积分,常见的超越积分有:

\(\int e^{a x^{2}} d x(a \neq 0)\)
\(\int \frac{\sin x}{x} d x\)
\(\int \frac{\cos x}{x} d x\)
\(\int \sin \left(x^{2}\right) d x\)
\(\cos \left(x^{2}\right) d x\)
\(\int \frac{x^{n}}{\ln x} d x(n \neq 1)\)
\(\int \frac{\ln x}{x+a} d x(a \neq 0)\)
\(\int(\sin x)^{z} d x \quad(z\) 不是整数)
\(\int d x / \sqrt{x^{4}+a}(a \neq 0)\)
\(\int \sqrt{1+k(\sin x)^{2}} d x(k \neq 0, k \neq-1)\)
\(\int d x / \sqrt{1+k(\sin x)^{2}}(k \neq 0, k \neq-1)\)

附阅:几个常见的超越积分(不可积积分)

有理函数的积分

有理函数的积分必定可以被求出

两个多项式的商 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 称为有理函数,又称有理分式.我们总假定分子多项式 \(P(x)\) 与分母多项式 \(Q(x)\) 之间没有公因式.当分子多项式 \(P(x)\) 的次数小于分母多项式 \(Q(x)\) 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.
利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式.
对于真分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) ,如果分母可分解为两个多项式的乘积

\[Q(x)=Q_1(x)Q_2(x), \]

且 \(Q_1(x)\) 与 \(Q_2(x)\) 没有公因式,那么它可以拆分成两个真分式之和

\[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}, \]

如果 \(Q_1(x)\) 或 \(Q_2(x)\) 还能再分解成两个没有公因式的多项式的乘积,那么就可再拆分成更简单的部分分式.最后,有力函数的分解式中只出现多项式,\(\frac{P_1(x)}{(x-1)^k}\),\(\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q)^l}\) 等三类函数(这里 \(p^2-4q<0\),\(P_1(x)\) 为小于 \(k\) 次的多项式,\(P_2(x)\) 为小于 \(2l\) 次的多项式 ).多项式的积分容易求得,后两类真分式的积分可以使用换元积分法和分部积分法求出.

附阅:有理函数不定积分计算法则——留数定理法

三角有理式积分

三角有理式是指三角函数通过有理运算得到的函数
三角有理式的积分也可以被求出

根据三角函数公式可以知道,\(\sin x\) 与 \(\cos x\) 都可以通过万能公式用 \(\tan \frac{x}{2}\) 表示,在此基础上使用第二类换元积分法可以求出三角有理式的积分.
当然,一般的三角有理式也可以通过三角变形,换元或者分部的方法直接求出.

含有根式的有理式积分

如果一个函数是通过 \(x\) 与 \(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\) 进行有理运算后得到的函数,处理这类函数我们可以将根式换元,消去根式,从而求出结果.

定积分

定积分的定义

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界,在 \([a,b]\) 中任意插入若干个分点

\[a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b, \]

把区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个小区间

\[[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n], \]

各个小区间的长度依次为

\[\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}. \]

在每个小区间 \([x_{i-1},x+i]\) 上任取一点 \(\xi_i(x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i)\),作函数值 \(f(\xi_i)\) 与小区间长度 \(\Delta x_i\) 的乘积 \(f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,...,n)\),并作出和

\[S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i. \]

记 \(\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}\) ,如果当 \(\lambda\to 0\) 时,这和的极限总存在,且与闭区间 \([a,b]\) 的分法和取法无关,那么称这个极限 \(I\) 为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分(简称积分),记作 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\),即

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=I=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i, \]

其中 \(f(x)\) 叫做被积函数,\(f(x)dx\) 被叫做被积表达式, \(x\) 叫做积分变量, \(a\) 叫做积分下限,\(b\) 叫做积分上限, \([a,b]\) 叫做积分区间.

函数的定积分是一个常数

函数的定积分只与函数的对应规则和积分的上下限有关,与自变量的符号无关.

为了计算和应用的方便起见,对定积分作以下两点补充规定:

当 \(b=a\) 时, \(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\);
当 \(a>b\) 时, \(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)
由上式可知,交换定积分的上下限时,定积分的绝对值不变而符号相反.

定积分可积的充分条件

定理一: 设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积.
定理二: 设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有界,且只有有限个间断点,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积.
补充: 设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上只有有限个第一类间断点,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积.

定积分的性质

性质一: 设 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 均为常数,则

\[ \int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx. \]

该性质对于任意有限个函数的线性组合也是成立的.

性质二:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \]

性质三: 如果在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)≡1\) ,那么

\[\int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=b-a \]

性质四: 如果在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)\geq 0\) ,那么

\[\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0(a<b) \]

性质四的推论一: 如果在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)\leq g(x)\) ,那么
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx(a<b). \]
性质四的推论二: 设 \(M\) 及 \(m\) 分别是函数 \(f(x)\)在区间 \([a,b]\)上的最大值及最小值,则
\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)(其中a<b) \]

积分中值定理

如果函数 \(f(x)\) 在积分区间 \([a,b]\) 上连续,那么在 \([a,b]\) 上至少存在一个点 \(\xi\) ,使下式成立:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)(其中a\leq\xi\leq b). \]

这个公式叫做积分中值公式.
其中:

\[f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \]

称为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的平均值.

积分上限函数及其导数

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,那么积分上限的函数:

\[\varPhi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \]

在 \([a,b]\) 上可导,并且它的导数

\[\varPhi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)(其中a \leq x \leq b). \]

即: \(\varPhi(x)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的一个原函数.

微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)

如果函数 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的一个原函数,那么

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \]

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中最重要的公式,他沟通了积分学和微分学

\[\underbrace{\underbrace{\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)}_{积分中值定理}=\underbrace{F'(\xi)(b-a)=F(b)-F(a)}_{微分中值定理}}_{牛顿-莱布尼茨公式} \]

定积分的换元积分法和分步积分法

定积分的换元法

假设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,函数 \(x=\varphi(t)\) 满足条件:

\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\);
\(\varphi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) (或 \([\beta,\alpha]\) )上具有连续导数,且其值域 \(R_{\varphi}=[a,b]\) ,则有:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt \]

再次说明:定积分的结果是一个值,与自变量的符号没有任何关系,所以这里并不需要将 \(t\) 换回 \(x\) ,直接求出对 \(t\) 的定积分即可.

定积分的分部法

假设函数 \(u(x)\) 与 \(v(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上具有连续导数,根据不定积分的分部积分法有:

\[\int_a^buv'dx=[uv]_a^b-\int_a^bvu'dx, \]

或

\[\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu \]

常用结论

若 \(f(x)\) 在 \([-a,a]\) 上连续,有:

\[\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(-x)+f(x)]dx \]

如果 \(f(x)\) 是偶函数,则

\[\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx \]

如果 \(f(x)\) 是奇函数,则

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0 \]

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续,则

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx\\ \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx \]

设 \(f(x)\) 是连续的周期函数,周期为 \(T\) ,则

\[\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx\\ \int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx(n\in \N). \]

华里士公式(点火公式)

\[\begin{aligned} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x\\ &=\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, n \text { 为正偶数 } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, n \text { 为大于 } 1 \text { 的正奇数. } \end{cases} \end{aligned} \]

或者可以写为:

\[I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} \]

反常积分

无穷区间上的反常积分

设 \(f(x)\) 为 \([a,+\infty)\) 上的连续函数,如果极限 \(\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx\) 存在,则称此极限为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \([a,+\infty)\) 上的反常积分,记作 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) ,即:

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx. \]

这时也称反常积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 发散.

设 \(f(x)\) 为 \((-\infty,b]\) 上的连续函数,则可类似的定义函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty,b]\) 上的反常积分

\[\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)dx. \]

设 \(f(x)\) 为 \((-\infty,+\infty)\) 上的连续函数,如果反常积分

\[\int_{-\infty}^0f(x)dx及\int_0^{+\infty}f(x)dx \]

都收敛,则称反常积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 收敛,且

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx. \]

如果 \(\int_{-\infty}^0f(x)dx及\int_0^{+\infty}f(x)dx\) 至少有一个发散,则称 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 发散.

常用结论:

\[\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} p>1 ,&\text{收敛 }\\ p\leq 1, &\text{发散 } \end{cases},(a>0) \]

无界函数的反常积分

如果函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 的任一邻域内都无界,那么点 \(a\) 称为函数 \(f(x)\) 的瑕点(也称为无界点).无界函数的反常积分也称为瑕积分.

设函数 \(f(x)\) 在 \((a,b]\) 上连续,点 \(a\) 为函数 \(f(x)\) 的瑕点.如果极限

\[\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx \]

存在,则称此极限为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的反常积分,记作 \(\int_a^bf(x)dx\) ,即

\[\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx \]

这时也称反常积分 \(\int_a^bf(x)dx\) 收敛.如果上述极限不存在,则称反常积分 \(\int_a^bf(x)dx\) 发散.

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 上连续,点 \(b\) 为函数 \(f(x)\) 的瑕点.则可类似的定义函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的反常积分

\[\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx \]

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上除点 \(c(a<c<b)\) 外连续,点 \(c\) 为函数 \(f(x)\) 的瑕点.如果反常积分

\[\int_a^cf(x)dx及\int_c^bf(x)dx \]

都收敛,则称反常积分 \(\int_a^bf(x)dx\) 收敛,且

\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx \]

如果 \(\int_a^cf(x)dx\) 与 \(\int_c^bf(x)dx\) 至少有一个发散,则称 \(\int_a^bf(x)dx\) 发散.

常用结论:

\[\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx\begin{cases} p<1 ,&\text{收敛 }\\ p\geq 1, &\text{发散 } \end{cases}\\ \int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx\begin{cases} p<1 ,&\text{收敛 }\\ p\geq 1, &\text{发散 } \end{cases} \]

一元函数积分学