开篇是一些扯淡，如果你想看的是那道题，直接往下翻到没有图片的地方就好（有两条分界线的地方）
高产之后阅读量下滑了（不如不更）
但是还是记录一下生活（一些个流水账）
上一篇博客没多少人读，可能是读的比较粗也可能是发现了也懒得破译也可能是没破译出来（应该不会吧 很简单的）
不过结论是并没有人对此做出什么回应（其实似乎也没什么可回应的）
如果单看一个空行的话太容易被发现了，所以选择直接接在最后一行后面
但是似乎大家对这种谜语人行为并不感兴趣，而且为了防止以后大家点进我博客第一件事就是Ctrl+A，所以还是先不这么玩了
然而按照DC的尿性，等到有什么需要一点脑洞加密的东西可能还会再加密放出来
按照惯例转发一些发在QQ空间的值得纪念的小事
终于到萌新线了
（虽然事实上在昨天我又推了一点到了11.54）
（仔细比对的话 发现有些歌真的半年没破记录了 如Vindication）
（骨折光prs快一年没推了）
事实上是在仿写半年前的说说（
（但是半年前说的卷可一点都没有实现）
除了打游戏以外，其实也在尝试做一些有点意义的事情
（看着同龄人一个比一个现充，唉当代大学生就数我最失败）
脑子不行那就上身体，也算是有点贡献
（但有一说一针管怎么那么粗，我没见过那么粗的针管）
不过有一点后悔，早知道就在浙江献了，似乎在浙江献血可以有志愿者小时数，但在河北就没有
上个学期啥也没干，志愿者小时数还保持着0呢
算了 来点有营养的东西
今天起床，没什么事，打算学习
但是我打开了B站
然而B站也觉得我太颓了，所以给我推了学习的东西
感觉是可以做成交互题然后扩展到OI上的，而且大概还不算太简单
考虑下面的问题：
(Easy version): $12$个硬币，其中没有假币或有$1$个假币， 假币重量与其它的不同，但不确定是更重还是更轻。 天平称量$3$次，确定是否有、哪个是假币、假币偏轻还是偏重（共25种情况）
(Hard version): 你必须在第一次称量开始前就把三次称量方案都确定，而不能根据上一次称量的结果来决定下一次的方案
(???? version): 硬币增加一个（$13$个硬币,$27$种情况）
$Easy\ version$上来就说左$6$右$6$的回去重新看题，如果天平不平衡的话那你只排除了全都是真的的情况，由于不知道下一步没法做了
最开始我在想$2^3=8$，跟$12$有什么关系
然后很快就发现这个$2$是没有来由的，天平有左倾 右倾 平衡$3$种状态，那么一共有$3^3=27$种可能
用来应对$25$种情况应该是足够的，但也差不多满了
每次称量会分出$3$个分支，我们要尽量充分的运用每一个分支
那么也就是说，要让$25$种可能情况尽量均衡的分布在$3$个子分支里
我们先规定一下$25$种情况的表示方式，$A$表示全是真($All$)，$x+$表示$x$是假币且比其余硬币重，$x-$反之
现在我们有$A,1+,2+,3+,4+,5+,6+,7+,8+,9+,10+,11+,12+,1-,2-,3-,4-,5-,6-,7-,8-,9-,10-,11-,12-$这些情况
如果想均衡的话，那你应该会想分成$8+8+9$
那么由于对称性，左右倾应该都对应$8$种情况，而平衡是$9$种情况
如果一个硬币$x$不上秤的话，那么$x+,x-$自然就都在平衡的情况里（剩下的都是真的，怎么称怎么平衡）
所以我们决定让$4$个硬币不上秤，那么平衡就有$4+4+1（x+,x-,A) = 9$种情况了
为了后续表达方便，我们就暂定让$9,10,11,12$不上秤吧。剩下的均匀分，$1,2,3,4$在左侧，$5,6,7,8$在右侧
那么结果以及所对应的情况如下：
B（平衡）：$9+,9-,10+,10-,11+,11-,12+,12-,A$
L（左倾）：$1+,2+,3+,4+,5-,6-,7-,8-$
R（右倾）：$1-,2-,3-,4-,5+,6+,7+,8+$
继续分类讨论：
$B:$
这样的话其实就是$4$硬币$2$机会的完全一样的子问题。
类似的，一共$9$种情况，我们想让它们被均分。
平衡对应$3$种，那么应该是有一个没上称，假设是$12$吧
然后$3$个硬币似乎没办法均匀放在左右边，所以我们决定把$9,10,11$放在左边，取用$1-8$号硬币中的$3$个放在右边
（我们已经确定它们都是真的，所以用它们来做“砝码”）
$BB:12-,12+,A$
$BL:9+,10+,11+$
$BR:9-,10-,11-$
$BB:$
这就很简单了，$12$要么正常要么轻要么重，别的都正常
$12$放在左边，$1-11$随便拿一个放在右边
$BBB:A$
$BBL:12+$
$BBR:12-$
$BL:$
这样的话我们知道$9,10,11$中一定恰好有一个是重的
那么随便拿两个上来，例如$9$在左$10$在右吧
$BLB:11+$
$BLL:9+$
$BLR:10+$
$BR:$ 与$BL$类似
$L:$
现在有$8$种情况，要么是$1,2,3,4$中有一个重了，要么是$5,6,7,8$中有一个轻了
$9-12$已经确定都是真的，可以当作砝码使用
$8$种情况分给$3$个分支，那大概是$3+3+2$了
然后这一步其实有点难想。平衡是$2$的话那应该有两个不上秤，假定是$4$和$8$吧
然后直观的想法是把$1+,2+,3+$放一组，$5-,6-,7-$放一组，但发现很难构造对应的称量方案
一种直观的想法是把$1,2,3,5,6,7$放左边，右边放上$6$个标准的真币。但是我们只有$4$个已经确定的真币，所以不太可行
所以我们退而求其次吧，搞一个更加混乱的分组方法：$1,2,6,7$在左，$3,5,9,10$在右（其中$9,10$已经确定为真币）
$LB:4+,8-$
$LL:1+,2+,5-$
$LR:3+,6-,7-$
$LB:$拿$4$号直接跟真币比对一下就好了。
$LL:1$和$2$比对一下谁重，谁重谁就假，平等那就是$6$号假
$LR:$与$LL$类似
$R:$与$L$类似
至此$Easy\ version$的所有情况就说明完了
$Easy\ version$的核心思想就是均分可能性（情况）
用$OI$的话来说，结点数固定且儿子数不超过$3$，那么满三叉树中平衡的那一个深度最小
来说说$Hard\ version$
不管怎么说，上述方法需要分类讨论，且后一步对前一步有依赖
如果问题简单的扩展到$4$次机会$39$个币（是$3$的倍数且没有满），可解但是讨论量非常非常大
这样的方法人力消耗极大，而且也很难用计算机实现
把问题扩展到$OI$数据范围，那直接玩完
所以我们要把问题抽象化，改成数学问题
我们考虑天平干的是个什么事：
假设每个硬币的质量分别是$m_1,m_2,...,m_{12}$
那么天平实际上是一个函数$f(int\ a[])$，其中参数$a[]$是操作数组
即$a[x]=1$说明硬币$x$放在左侧，$a[x]=-1$说明硬币$x$放在右侧，$a[x]=0$说明$x$不上秤
天平返回的是$sgn(\sum\limits_{i=1)^{12} a_i \times m_i$
$1$表示左倾，$-1$表示右倾，$0$表示平衡
天平的那个和式实际上类似于矩阵（向量）乘法
我们重写每个硬币的质量为$m_i = m_0 + b_i$，其中$m_0$表示真币质量，$b_i$表示偏差量
由于我们只在意$b_i$的正负（或$0$）而不在意大小，所以我们假设$b$只有$+1,-1,0$三种取值
构造矩阵$M =\begin{bmatrix} m_0 \\ m_0 \\ ...\\ m_0 \end{bmatrix} , B =\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ...\\ b_{12} \end{bmatrix}, A =\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ...& a_{12} \end{bmatrix}$
我们发现一次称量就是$A \times (M+B) = result$，$result$只有$1,-1,0$三种取值
由于我们有$3$次称量，就有$3$个$A$向量。我们把它们并起来，得到一个新的$A$矩阵
$ A =\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ...& a_{1,12} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ...& a_{2,12} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & ...& a_{3,12} \end{bmatrix} $
这样的话结果也会是一个向量$R= \begin{bmatrix} result_1 \\ result_2 \\ result_3 \end{bmatrix}$
现在还是一个$A \times (M+B) = R$。其中$M$是一个所有元素都相等的列向量
如果我们假定$A$中每行的行和为$0$，那么等式就可以化简为$ A \times B = R$
（很好理解。放在原问题里就是，如果天平左右侧硬币数量相等，那么真币有多重便不再产生影响）
现在我们的问题是，我们要构造一个$3 \times 12$的由$1,0,-1$构成的矩阵$A$
然后根据每一种返回的$R$，求出对应的$B$。
且$B$还满足一个性质：要么全是$0$，要么恰有一个元素为$1$或$-1$
进一步发现：由于$B$满足这样的性质，所以如果$B\neq 0$，那么$R$一定等于$A$中的某一列，或者是负的某一列
如果$B = 0$那么也就是说怎么称都相等，这样的话也就是没有假币
如果$B = A_{*,x}$也就是等同于第$x$列，这样的话就说明$b_x=1$也就是$x$是假币且偏重
如果$B = -A_{*,x}$也就是等同于负的第$x$列，这样的话就说明$b_x=-1$也就是$x$是假币且偏轻
为了使结果$R$与情况一一对应，我们需要保证$A$中的任意两列不相等，任意两列不互补
同时由于零向量被用去表示怎么称都相等的情况，所以$A$中的任意一列也不能是全零
同时当然受到题意限制，$A$中的每个元素必须是$0,1,-1$中的一个
还有上面为了简化问题规定的，$A$中每一行的行元素和为$0$
随便构造一个满足这些条件的矩阵吧
$ A=\begin{bmatrix} -1& 1 & -1 &0 &0& -1&1&1&1&-1&0&0 \\ -1& -1 & 1&1&-1&0&0&1&-1&0&1&0 \\ 1& -1 & -1&1&1&-1&-1&0&0&0&0&1 \end{bmatrix} $
实际上只有$13$对可能的列向量（去掉全零$(27-1)/2$，每一对互补，也就是$A=-A'$），每一对里选一个，有一对舍弃掉。
事实上你要舍弃的一对一定是三个元素都不为$0$的四对之一
因为你要求每行的和为$0$。那么也就是说绝对值的和一定要是偶数。这$13$对的绝对值和是$\begin{bmatrix} 9\\9\\9 \end{bmatrix} $
所以要去掉哪一个其实是有这样的限制的
不管怎么说，现在有一个能用的$A$了，然后就可以根据$R$向量来查找对应的结果了
很妙。我线性代数真有如白学
至于$????\ version$，首先我们先不考虑$Hard\ version$那个限制，也就是即使我们依然可以根据结果决定下一步决策
这样的话，$13$个币意味着情况全满（$27$种）
而且硬币总数不是$3$的倍数也不是$2$的倍数会带来一些不便。例如说第一步分成$9,9,9$可能都相当困难
所以在$Easy\ version$的$L$情况中出现的混乱可能会更加的多
更进一步的话，第一次平衡需要$9$种情况，那就说明是$4+4+1$，有$4$个币不上称
剩下的$9$个币都要上称，那么两侧币的数量就不一致了，就很难继续考虑了
这是建立在没有额外提供真币的情况下，如果给出了足量的真币作为砝码，那上述问题会相当简单
例如我如果有$9$个已知真币，那么左侧放$1-9$右侧放$9$个真币就能把情况很整齐地划分
同时如果是$Hard\ version$，我们用矩阵去构造
由于是$13$个币，所以$13$对列向量我们都不能舍弃，那么每一行和为$0$的条件就不能被满足
如果我们有已知的真币的话，我们可以通过往币数量少的一边添加真币来使得$m_0$的贡献在两侧达到平衡
如果是$Easy\ version$的话，那么给我$1$个真币其实就够了。我左侧放$1-5$右侧放$6-9$加一个真币
那么结果就分为了$L:1+,2+,3+,4+,5+,6-,7-,8-,9-/R:1-,2-,3-,4-,5-,6+,7+,8+,9+$
同时$Hard\ version$添加一个币也是没问题的。按照原来的方案表示即可。
这就进一步引出了一堆问题：$13$个币不添加真币是否无解？$Hard\ version$呢？
我的大脑宕机了。我好菜
希望能有人给出解答$orz$