NOI2022 選做
四年前的今天，我在機房暢想着未知的未來。
現在，時間過去了，身邊的人變了，我還在電腦前，追逐我的夢想。
%%%ljc1301 爺
「NOI2022」衆數
首先有個經典算法：若序列中存在一個數出現次數 \(>\lfloor \frac n2\rfloor\)，那麼執行下列算法即可找到這個數：
- \(i=1,count=1,value=a_1\)
- \(i\leftarrow i+1\)。若 \(value=a_i\)，令 \(count=count+1\)。否則，令 \(count=count-1\)。
- 若 \(count=0\)，令 \(count=1,value=a_i\)。
- 重複執行操作 \(2,3\) 直到 \(i=N\)。
觀察這個算法的過程，是一個將兩個不同的數消去的過程。
因此可以用一課值域線段樹維護值，再用鏈表和線段樹合併維護合併。時間 \(O(n\log n)\)。
點擊查看代碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
template <class T>
inline void read(T &x)
{
x=0; int f=1; char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
x=(f==1)?x:-x;
}
#define pc putchar
template <class T>
void print(T x)
{
if(x<0) pc('-'),x=-x;
if(x>9) print(x/10);
pc(x%10+'0');
}
const int maxn=1000005;
int n,q,a[maxn],siz[maxn],rt[maxn],ls[maxn*24],rs[maxn*24],sz; pii t[maxn*24];
int he[maxn],ta[maxn],pr[maxn],su[maxn],v[maxn],tot;
inline pii operator + (pii a,pii b)
{
if(a.fi==0) return b;
if(b.fi==0) return a;
if(a.fi==b.fi) return pii(a.fi,a.se+b.se);
if(a.se==b.se) return pii(0,0);
if(a.se>b.se) return pii(a.fi,a.se-b.se);
return pii(b.fi,b.se-a.se);
}
inline void pushup(int rt) { t[rt]=t[ls[rt]]+t[rs[rt]]; }
void update(int &rt,int l,int r,int u,int v)
{
if(!rt) rt=++sz;
if(l==r)
{
t[rt].se+=v;
t[rt].fi=(t[rt].se>0)?l:0;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(u<=mid) update(ls[rt],l,mid,u,v);
else update(rs[rt],mid+1,r,u,v);
pushup(rt);
}
int query(int rt,int l,int r,int u)
{
if(!rt) return 0;
if(l==r) return t[rt].se;
int mid=(l+r)>>1;
if(u<=mid) return query(ls[rt],l,mid,u);
else return query(rs[rt],mid+1,r,u);
}
int merge(int x,int y,int l,int r)
{
if(!x || !y) return x+y;
if(l==r)
{
t[x].se+=t[y].se;
t[x].fi=(t[x].se>0)?l:0;
return x;
}
int mid=(l+r)>>1;
ls[x]=merge(ls[x],ls[y],l,mid);
rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,r);
pushup(x);
return x;
}
inline void add(int x,int y)
{
v[++tot]=y;
if(he[x]==0) he[x]=tot;
pr[tot]=ta[x];
su[ta[x]]=tot;
ta[x]=tot;
}
inline void del(int x)
{
ta[x]=pr[ta[x]];
su[ta[x]]=0;
if(ta[x]==0) he[x]=0;
}
int main()
{
freopen("major.in","r",stdin);
freopen("major.out","w",stdout);
read(n),read(q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
read(siz[i]);
for(int j=0,x;j<siz[i];j++)
{
read(x),add(i,x);
update(rt[i],1,n+q,x,1);
}
}
int op,x,y,z; pii ans;
for(int Case=1;Case<=q;Case++)
{
read(op);
if(op==1)
{
read(x),read(y);
siz[x]++,add(x,y);
update(rt[x],1,n+q,y,1);
}
if(op==2)
{
read(x);
update(rt[x],1,n+q,v[ta[x]],-1);
siz[x]--,del(x);
}
if(op==3)
{
read(x); ans=pii(0,0),y=z=0;
for(int i=1;i<=x;i++)
read(a[i]),ans=ans+t[rt[a[i]]],y+=siz[a[i]];
if(ans.fi==0) { print(-1),pc('\n'); continue; }
for(int i=1;i<=x;i++)
z+=query(rt[a[i]],1,n+q,ans.fi);
if(z>y/2) print(ans.fi);
else print(-1);
pc('\n');
}
if(op==4)
{
read(x),read(y),read(z);
if(siz[x]==0)
{
he[z]=he[y],ta[z]=ta[y];
rt[z]=rt[y],siz[z]=siz[y];
}
else if(siz[y]==0)
{
he[z]=he[x],ta[z]=ta[x];
rt[z]=rt[x],siz[z]=siz[x];
}
else
{
rt[z]=merge(rt[x],rt[y],1,n+q);
su[ta[x]]=he[y];
pr[he[y]]=ta[x];
he[z]=he[x],ta[z]=ta[y];
siz[z]=siz[x]+siz[y];
}
}
}
return 0;
}
「NOI2022」挑戰 NPC Ⅱ
暴力=正解，笑死。
首先有一個暴力的想法。因爲只有 \(k\) 個點不一樣，考慮從上往下匹配，兒子能匹配就匹配，最後剩下不超過 \(k\) 個兒子。暴力匹配即可。
爲什麼這是對的？
比如匹配兩棵樹，若有 \(t\) 個兒子，那麼接下來兩棵樹節點數之差就變成原來減去 \(t-1\)，那麼就變成 \(x_1+x_2+…+x_m=k, (x_1+1)(x_2+1)…(x_m+1)\) 最大是多少的問題了，可以說明最大應該是 \(2^k\)，但其實根本跑不滿。理論上界 \(O(n2^kk!)\)。
點擊查看代碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
#define fi first
#define se second
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
template <class T>
inline void read(T &x)
{
x=0; int f=1; char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
x=(f==1)?x:-x;
}
const int maxn=100005;
struct Tree
{
const ull base=998244353;
vector<int> g[maxn];
int n,rt,fa[maxn],siz[maxn]; ull mi[maxn],f[maxn];
void dfs(int x)
{
f[x]=1,siz[x]=1;
for(auto y:g[x])
dfs(y),f[x]+=f[y]*mi[siz[y]],siz[x]+=siz[y];
}
void init()
{
read(n);
FOR(i,1,n)
{
read(fa[i]);
if(fa[i]==-1) rt=i;
else g[fa[i]].push_back(i);
}
mi[0]=1;
FOR(i,1,n) mi[i]=mi[i-1]*base;
dfs(rt);
}
void reset()
{
FOR(i,1,n) g[i].clear();
}
}G,H;
int C,T,k;
int check(int u,int v)
{
if(u==0 || v==0) return 1;
if(abs(G.siz[u]-H.siz[v])>k) return 0;
vector<int> a,b; int j=0;
for(int i=0;i<G.g[u].size();i++)
{
for(;j<H.g[v].size() && G.f[G.g[u][i]]>H.f[H.g[v][j]];j++)
b.push_back(H.g[v][j]);
if(j>=H.g[v].size() || G.f[G.g[u][i]]!=H.f[H.g[v][j]]) a.push_back(G.g[u][i]);
else j++;
}
for(;j<H.g[v].size();j++) b.push_back(H.g[v][j]);
if(a.size()>k || b.size()>k || a.size()<b.size()) return 0;
if(a.size()==0) return 1;
while(b.size()<a.size()) b.push_back(0);
int e[5][5],p[5];
FOR(i,0,(int)a.size()-1)
FOR(j,0,(int)b.size()-1)
e[i][j]=check(a[i],b[j]);
FOR(i,0,(int)a.size()-1) p[i]=i;
do
{
int fl=1;
FOR(i,0,(int)a.size()-1) fl&=e[i][p[i]];
if(fl) return 1;
}while(next_permutation(p,p+a.size()));
return 0;
}
inline bool cmp1(const int &x,const int &y) { return G.f[x]<G.f[y]; }
inline bool cmp2(const int &x,const int &y) { return H.f[x]<H.f[y]; }
void solve()
{
G.init(),H.init();
FOR(i,1,G.n) sort(G.g[i].begin(),G.g[i].end(),cmp1);
FOR(i,1,H.n) sort(H.g[i].begin(),H.g[i].end(),cmp2);
if(check(G.rt,H.rt)) puts("Yes");
else puts("No");
G.reset(),H.reset();
}
int main()
{
freopen("iso.in","r",stdin);
freopen("iso.out","w",stdout);
read(C),read(T),read(k);
while(T--) solve();
return 0;
}
「NOI2022」冒泡排序
磨了 5h，磨出來了。
題解直接看洛谷好了。
爲什麼要 \(l\) 從大往小排：這樣纔好貪心。
時間 \(O(n\log n)\)。
點擊查看代碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define PER(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
template <class T>
inline void read(T &x)
{
x=0; int f=1; char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
x=(f==1)?x:-x;
}
#define pc putchar
template <class T>
void print(T x)
{
if(x<0) pc('-'),x=-x;
if(x>9) print(x/10);
pc(x%10+'0');
}
const int maxn=1000005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,mx,a[maxn],b[maxn];
struct Query { int l,r,v; } q[maxn];
inline bool cmp(const Query &a,const Query &b)
{
if(a.v!=b.v) return a.v>b.v;
return a.l>b.l;
}
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
struct Segment_Tree_1
{
int p[maxn<<2],mn[maxn<<2],mn_id[maxn<<2],tag[maxn<<2];
inline void pushup(int rt)
{
mn[rt]=min(mn[ls],mn[rs]);
mn_id[rt]=(mn_id[ls]>0)?mn_id[ls]:mn_id[rs];
}
inline void pushtag(int rt,int z) { mn[rt]=inf,mn_id[rt]=0,p[rt]=max(p[rt],z),tag[rt]=max(tag[rt],z); }
inline void pushdown(int rt) { if(tag[rt]) pushtag(ls,tag[rt]),pushtag(rs,tag[rt]),tag[rt]=0; }
void build(int rt,int l,int r)
{
mn[rt]=inf,mn_id[rt]=p[rt]=tag[rt]=0;
if(l==r) { mn_id[rt]=l; return; }
int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r),pushup(rt);
}
void update(int rt,int l,int r,int x,int y,int z)
{
if(x<=l && r<=y) { pushtag(rt,z); return; }
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) update(ls,l,mid,x,y,z);
if(y>mid) update(rs,mid+1,r,x,y,z);
pushup(rt);
}
void modify(int rt,int l,int r,int u,int v)
{
if(l==r) { mn[rt]=v,mn_id[rt]=0; return; }
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
if(u<=mid) modify(ls,l,mid,u,v);
else modify(rs,mid+1,r,u,v);
pushup(rt);
}
int query(int rt,int l,int r,int x,int y)
{
if(x<=l && r<=y) return mn[rt];
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);
if(x>mid) return query(rs,mid+1,r,x,y);
return min(query(ls,l,mid,x,y),query(rs,mid+1,r,x,y));
}
int query_id(int rt,int l,int r,int x,int y)
{
if(x<=l && r<=y) return mn_id[rt];
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) return query_id(ls,l,mid,x,y);
if(x>mid) return query_id(rs,mid+1,r,x,y);
int ans=query_id(ls,l,mid,x,y);
if(ans>0) return ans;
return query_id(rs,mid+1,r,x,y);
}
void get_b(int rt,int l,int r)
{
if(l==r) { b[l]=p[rt]; return; }
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
get_b(ls,l,mid),get_b(rs,mid+1,r);
}
}T1;
struct Segment_Tree_2
{
int add[maxn<<2]; pii mn[maxn<<2];
inline pii cmp(const pii &a,const pii &b) { return (a.fi<=b.fi)?a:b; }
inline void pushup(int rt) { mn[rt]=cmp(mn[ls],mn[rs]); }
inline void pushtag(int rt,int z) { mn[rt].fi+=z,add[rt]+=z; }
inline void pushdown(int rt) { if(add[rt]) pushtag(ls,add[rt]),pushtag(rs,add[rt]),add[rt]=0; }
void build(int rt,int l,int r)
{
mn[rt].fi=mn[rt].se=add[rt]=0;
if(l==r) { mn[rt].se=l; return; }
int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r),pushup(rt);
}
void update(int rt,int l,int r,int x,int y,int z)
{
if(x>y) return;
if(x<=l && r<=y) { pushtag(rt,z); return; }
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) update(ls,l,mid,x,y,z);
if(y>mid) update(rs,mid+1,r,x,y,z);
pushup(rt);
}
pii query(int rt,int l,int r,int x,int y)
{
if(x<=l && r<=y) return mn[rt];
pushdown(rt);
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);
if(x>mid) return query(rs,mid+1,r,x,y);
return cmp(query(ls,l,mid,x,y),query(rs,mid+1,r,x,y));
}
}T2;
struct BIT
{
int tr[maxn];
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
inline void add(int x,int y) { for(;x<=mx;x+=lowbit(x)) tr[x]+=y; }
inline void update(int l,int r,int x) { if(l>r) return; add(l,x),add(r+1,-x); }
inline int query(int x)
{
int ans=0;
for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=tr[x];
return ans;
}
}T3;
void solve()
{
read(n),read(m);
vector<int> cur;
FOR(i,1,m) read(q[i].l),read(q[i].r),read(q[i].v),cur.push_back(q[i].v);
sort(cur.begin(),cur.end());
cur.erase(unique(cur.begin(),cur.end()),cur.end());
FOR(i,1,m) q[i].v=lower_bound(cur.begin(),cur.end(),q[i].v)-cur.begin()+1;
sort(q+1,q+m+1,cmp);
FOR(i,1,n) a[i]=0;
mx=cur.size();
T1.build(1,1,n);
for(int l=1,r=0;l<=m;l=r+1)
{
r=l;
for(;r<m && q[r].v==q[r+1].v;r++);
FOR(i,l,r)
{
if(T1.query(1,1,n,q[i].l,q[i].r)==q[i].v) continue;
int k=T1.query_id(1,1,n,q[i].l,q[i].r);
if(!k) { puts("-1"); return; }
a[k]=q[i].v,T1.modify(1,1,n,k,q[i].v);
}
FOR(i,l,r) T1.update(1,1,n,q[i].l,q[i].r,q[i].v);
}
T1.get_b(1,1,n);
T2.build(1,1,mx);
FOR(i,1,n)
if(a[i]>0) T2.update(1,1,mx,a[i]+1,mx,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i]==0)
{
pii ans=T2.query(1,1,mx,max(b[i],1),mx);
a[i]=ans.se,T2.update(1,1,mx,1,a[i]-1,1);
}
else T2.update(1,1,mx,a[i]+1,mx,-1),T2.update(1,1,mx,1,a[i]-1,1);
FOR(i,1,mx) T3.tr[i]=0;
ll ans=0;
PER(i,n,1)
ans+=T3.query(a[i]-1),T3.add(a[i],1);
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
freopen("bubble.in","r",stdin);
freopen("bubble.out","w",stdout);
int T;
read(T);
while(T--) solve();
return 0;
}